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时间:2018-03-05
《2015年中考数学精英专题 (1)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2015年中考数学精英专题(1)专题六 动态综合型问题强化突破1.(2014·益阳)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.(1)求AD的长;(2)点P在运动过程中,是否存在以A,P,D为顶点的三角形与以P,C,B为顶点的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1,S2,若S=S1+S2,求S的最小值.解:(1)AD=2 (2)存在.若以A,P,D为顶点的三角形与以P,C,B为顶点的三角形相似,则△PCB必有一个
2、角是直角.①当∠PCB=90°时,在Rt△PCB中,BC=4,∠B=60°,PB=8,∴AP=AB-PB=2.又由(1)知AD=2,在Rt△ADP中,tan∠DPA===,∴∠DPA=60°,∴∠DPA=∠B,∴△ADP∽△CPB.②当∠CPB=90°时,在Rt△PCB中,∠B=60°,BC=4,∴PB=2,PC=2,∴AP=8,则≠且≠,此时△PCB与△ADP不相似.综上可知,存在△ADP与△CPB相似,此时x=2(3)如图,因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD,∴S1=π·()2=π.①当2<x<10时,作BC的垂直平分线交BC于H,交AB于G;作PB的垂直
3、平分线交PB于N,交GH于M,连接BM,则BM为△PCB外接圆的半径.在Rt△GBH中,BH=BC=2,∠MGB=30°,∴BG=4,又BN=PB=(10-x)=5-x,∴GN=BG-BN=x-1.在Rt△GMN中,MN=GN·tan∠MGN=(x-1).在Rt△BMN中,BM2=MN2+BN2=x2-x+,∴S2=π·BM2=(x2-x+)π.②当0<x≤2时,S2=(x2-x+)π也成立.∴S=S1+S2=π+(x2-x+)π=π(x-)2+π,∴当x=时,S=S1+S2取得最小值π2.(2014·兰州)如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与
4、y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.解:(1)y=-x2+x+2(2)∵y=-x2+x+2=-(x-)2+,∴抛物线的对称轴是x=,∴OD=.∵C(0,2),∴OC=2.在Rt△OCD中,由勾股定理,得CD=,
5、∴P1(,4),P2(,),P3(,-) (3)当y=0时,0=-x2+x+2,∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0),可求直线BC的解析式为y=-x+2.如图,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,-a+2),F(a,-a2+a+2),∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4).∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN=××2+a(-a2+2a)+(4-a)(-a2+2a)=-a2+4a+=-(a-2)2+,∴a=2时,四边形CDBF的面积有最大值,S最大=,此时E(2,1)3.(2013·青岛
6、)如图,▱ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题:(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是▱ABCD面积的一半?若存在,求出相应的t值;若不存在,说明理由;(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的
7、交点把线段AC分成∶1的两部分?若存在,求出相应的t值;若不存在,说明理由.解:(1)由平行四边形知PA=PD,即3t=3-3t,∴t=(2)由△MAP∽△QDP,得=,∴AM=t.在Rt△BNM中,sin45°==,∴MN=(1+t),∴y=AP·MN=·3t·(1+t),∴y=t2+t (3)假设存在某一时刻使四边形ANPM的面积是▱ABCD面积的一半,此时有t2+t=×3×,即t2+t-1=0,解得t1=,t2=(舍去),则当t=s时,四边形ANPM的面积是▱ABCD面积的一半 (4)假设存在某一时刻,使MP与AC的交点把线段AC分成∶1的两部分.设NP与A
8、C交于点E
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