重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移(8题型+满分技巧+限时检测)(解析版).docx

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重难点2-4利用导数研究不等式与极值点偏移8大题型函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数,然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到目的。考查难度较大。函数的极值点偏移问题,是导数应用问题,呈现的形式往往非常简洁,涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,考查考生的化归与转化思想,逻辑思维能力、运算求解能力。【题型1单变量不等式的证明】满分技巧不等式证明的常用思路1、移项构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;2、最值法:若无法转化为一个函数的最值问题,则可以考虑转化为两个函数的最值问题.在证明过程中,等价转化是关键,此处恒成立.从而f(x)>g(x),但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”.3、适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;4、构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数【例1】(2024·山东青岛·高三校考期末)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)当时,证明:.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析【解析】(1)当时,,则当时,,单调递增,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 当时,,单调递减,故在上单调递增,在上单调递减,(2)(法一)当时,由(1)可知,即,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以在单调递减,在单调递增,因此,(当且仅当时取得等号)(法二)当时,令,可知于是在单调递减,在单调递增,因此,(当且仅当时取得等号).令,则由(1)知:故在单调递增,因此.所以.【变式1-1】(2023·安徽合肥·高三校考期末)已知函数.(1)当时,求的单调区间(2)讨论的单调性;(3)当时,证明.【答案】(1)在单调递增,在单调递减;(2)答案见解析;(3)证明见解析【解析】(1)当时,,的定义域为,则,故当时,;当时,.故在单调递增,在单调递减;(2)的定义域为,.若,则当时,,故在单调递增,若,则当时,;当时,.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 故在单调递增,在单调递减;(3)由(1)知,当时,在取得最大值,最大值为,所以等价于,即,设,则,当时,,当时,所以在单调递增,在单调递减,故当时,取得最大值,最大值为,所以当时,,从而当时,,即.【变式1-2】(2024·陕西榆林·高三一模)设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求;(2)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)函数的定义域为.将代入,解得,即,由切线方程,则切线斜率.故,解得.(2)证明:由(1)知,从而等价于.设函数,则.所以当时,,当时,.故在上单调递减,在上单调递增,从而在上的最小值为.设函数,从而在上的最大值为.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 故,即.【变式1-3】(2024·内蒙古·高三校考期末)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)证明:在上.【答案】(1)递增区间为,递减区间为;(2)证明见解析.【解析】(1)函数的定义域为,求导得,由,得,由,得,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.(2)由(1)可知,在上单调递增,在上单调递减,则,即,令,求导得,当时,单调递减;当时,单调递增,于是,即,所以当时,,即.【题型2双变量不等式的证明】满分技巧双变量不等式的处理策略:含两个变量的不等式,基本的思路是将之转化为一元的不等式,具体转化方法主要有三种:整体代换,分离变量,选取主元.【例2】(2024·全国·模拟预测)已知函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(2)已知,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由题意,得.因为函数在上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,即在上恒成立,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 所以在上恒成立.因为当时,(当且仅当时,等号成立),所以,解得.所以的取值范围为.(2)方法一:设.由(1)知在上单调递增,所以在上单调递增.因为,所以,即.所以.故.方法二:要证,即要证,即要证.记,则只要证.记,则.记,则,所以在上单调递增.所以在上单调递增,所以.所以在上单调递增,所以.所以成立.故.【变式2-1】(2024·北京西城·高三统考期末)已知函数,其中.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求的单调区间;(3)当且时,判断与的大小,并说明理由.【答案】(1);(2)增区间,减区间(3),理由详见解析【解析】(1)时,,,,所以曲线在点处的切线方程为,即.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 (2)的定义域为,,所以在区间和上单调递减,在区间上单调递增,所以的增区间,减区间;(3)当且时,,证明如下:令,则,设,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,即,所以的单调递增区间为.当时,,即,当时,,即,综上所述,当且时,.【变式2-2】(2024·全国·高三专题练习)已知函数,其中.(1)当时,求的极值;(2)当,时,证明:.【答案】(1)有极大值,极小值;(2)证明见解析【解析】(1)由题意,,,所以当时,,,由解得:或,由解得:,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故有极大值,极小值.(2)由题意,,,要证,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 只需证,而,,所以只需证,即证①,下面给出两种证明不等式①的方法:证法1:要证,只需证,即证,令,则,所以在上单调递增,显然,所以当时,,因为,所以,即,故.证法2:要证,只需证,即证,令,则,所以只需证当时,,即证,令,则,所以在上单调递增,又,所以成立,即,故【变式2-3】(2024·全国·高三专题练习)知函数.(1)求函数的单调区间和最小值;(2)当时,求证:(其中为自然对数的底数);(3)若,求证:.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 【答案】(1)在上为增函数;在上为减函数,(2)证明见解析;(3)证明见解析【解析】(1)令得;令得:;在上为增函数,在上为减函数.故.(2)由(1)知:当时,有,,即:,.(3)将变形为:即只证:设函数,令,得:.在上单调递增;在,上单调递减;的最小值为:,即总有:.,即:,令,,则,成立.【题型3对称化构造解决极值点偏移】满分技巧1、和型(或)问题的基本步骤:①首先构造函数,求导,确定函数和函数的单调性;②确定两个零点,且,由函数值与的大小关系,得与零进行大小比较;学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小,从而证明相应问题;2、积型问题的基本步骤:①求导确定的单调性,得到的范围;②构造函数,求导可得恒正或恒负;③得到与的大小关系后,将置换为;④根据与的范围,结合的单调性,可得与的大小关系,由此证得结论.【例3】(2024·云南昭通·统考模拟预测)已知函数.(1)讨论的单调区间;(2)已知在上单调递增,且,求证:.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析【解析】(1)的定义域为..①当时,由得,单调递增,由得,单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减;②当时,由得,或,在区间上单调递减,在区间上单调递增;③当时,在上单调递增;④当时,由得,或,由得,,在区间上单调递减,在区间上单调递增.综上,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增;当时,在上单调递增;当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增.(2)由(1)知,当且仅当时,在上单调递增,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 即:.,又且在上单调递增,和均不成立.故不妨设,因此要证,即证,因为在上单调递增,所以即证.又,故只需证,即证.设,.,故.因此在上单调递增,所以.故,又因为在上单调递增,.【变式3-1】(2024·山西晋城·统考一模)已知函数.(1)若恒成立,求的取值范围;(2)若有两个零点,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1).令,易知单调递增,且.当时,,即,单调递减;当时,,即,单调递增.所以,即,所以的取值范围是.(2)由的单调性可设.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 令.令,则,所以在上单调递增,则,所以.所以,即,即.因为当时,单调递减,且,所以,即.【变式3-2】(2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知函数.(1)若有唯一极值,求的取值范围;(2)当时,若,,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)函数的定义域为,求导得,当时,若,,函数在上单调递增,无极值点,不符合题意;若,当或时,,当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,函数有两个极值点,不符合题意;若,当或时,,当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,函数有两个极值点,不符合题意;当时,当时,,当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,2是函数的极大值点,且是唯一极值点,所以的取值范围是.(2)当时,函数在上单调递增,在上单调递减,由,,不妨令,要证,只证,即证,就证,令,求导得学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 ,于是函数在上单调递减,,而,则,即,又,因此,显然,又函数在上单调递增,则有,所以.【变式3-3】(2024·江苏扬州·高三统考期末)已知函数的最小值为.(1)求实数的值;(2)若有两个不同的实数根,求证:.【答案】(1)1;(2)证明见解析.【解析】(1)因为,令,可得,当时单调递减;当时单调递增.所以,所以.(2)证明:由(1)知,在上单调递减,在上单调递增,当时,当时,所以,先证明.记,则,当时,,所以单调递减,所以当时,,即,故,即.又,由单调性知:,即.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 再证明.记函数与和交点的横坐标分别为.①当时,,故,所以,.(或:的图象在的图象的下方,且两个函数在上都是减函数)②当时,记,所以.当时单调递减;当时单调递增.又,当时,,即.故所以,故.(或的图象在的图象的下方,且两个函数在上都递增)综上,.【题型4比值代换法解决极值点偏移】满分技巧比值换元的目的也是消元、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点的比值作为变量,从而实现消参、减元的目的。设法用比值(一般用表示)表示两个极值点,即,化为单变量的函数不等式,继而将所求问题转化为关于的函数问题求解。【例4】(2023·全国·高三统考月考)已知是函数的导函数.(1)讨论方程的实数解个数;(2)设为函数的两个零点且,证明:.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)函数,,令,,(i)当时,,则在上单调递减,有且仅有1个零点;(ii)当时,,则在上单调递减,,则在上有一个零点;(iii)当时,令,,当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 因此的最小值为,令,解得,又因为,,令函数,求导得,函数在上单调递增,于是,而,因此,由函数零点存在定理得,在区间和上各有一个零点,当,即时,在上只有一个零点,当时,在上没有零点,所以当时,在上有两个零点,即方程的有两个实数解;当或时,在上有一个零点,即方程的有一个实数解;当时,在上没有零点,即方程的无实数解.(2)由(1)知有两个零点,,,,则,由是的两个零点,得,,即,,两式相减得,令,则,,,于是,,,要证,即证,即证,只需证:,令,,,令,故在上单调递减,因此,则在上单调递增,所以,从而得证,即.【变式4-1】(2023·河南驻马店·高三统考期末)已知函数有两个零点.(1)求的取值范围;学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 (2)设,是的两个零点,,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由且,可得.设,,则,令,解得.当时,,单调递增;当时,,单调递减.又当趋向于0时,趋向于,当趋向于时,趋向于0,所以要使的图象与直线有两个交点,则,故的取值范围是.(2)证明:,由(1)得,则,.设,则,即,.设,则.设,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增.又,,,所以存在唯一的,使得,即,所以的最小值为,,所以,故.【变式4-2】(2024·福建厦门·统考一模)已知函数有两个极值点,.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 (1)求实数的取值范围;(2)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)由题设且,若,则在上恒成立,即递增,不可能有两个极值点,不符;故,又有两个极值点,则,是的两个不同正根,所以,可得,即实数的取值范围是.(2)由(1)且,,不妨设,则,要证,需证,即,只需证,即,令,则证,由(1),时,即,所以在上递增,又,故,即,综上,.【变式4-3】(2022·全国·模拟预测)设函数.(1)若,求函数的最值;(2)若函数有两个不同的极值点,记作,且,求证:.【答案】(1)无最小值,最大值为;(2)证明见解析【解析】(1)由题意得,则.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 令,解得;令,解得,在上单调递增,在上单调递减,,无最小值,最大值为.(2),则,又有两个不同的极值点,欲证,即证,原式等价于证明①.由,得,则②.由①②可知原问题等价于求证,即证.令,则,上式等价于求证.令,则,恒成立,在上单调递增,当时,,即,原不等式成立,即.【题型5导数与数列不等式证明】满分技巧1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式,用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量。通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问,已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得来。2、已知函数式为指数不等式(或对数不等式),而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式),还有注意指、对数式的互化,如可化为【例5】(2024·安徽合肥·高三统考期末)已知函数.(1)讨论的单调性;学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 (2)证明:对于任意正整数n,都有.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)的定义域为,,若,当,则,所以在上单调递增;若,当,则,所以在上单调递减;当,则,所以在上单调递减;综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递减.(2)由(1)知当时,在上单调递减,在上单调递增,所以,,即当时,,对于任意正整数,令,有,所以,即,即.【变式5-1】(2024·山西·高三统考期末)已知函数.(1)若当时,,求实数的取值范围;(2)求证:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)由题可知.令,其图象的对称轴为直线.当即时,在单调递增,又,所以当时,恒成立,从而恒成立,所以在单调递增,又,所以恒成立.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 当即时,在单调递减,在单调递增,又,所以当时,恒成立,从而恒成立,在单调递减,又,所以当时,,与已知矛盾,舍去.综上所述,的取值范围为.(2)由(1)可知,当时,,从而,于是.【变式5-2】(2023·天津红桥·统考一模)已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程:(2)若恒成立,求实数的取值范围;(3)证明:(,).【答案】(1);(2);(3)证明见解析【解析】(1)当时,函数的定义域为,,,曲线在点处的切线方程的斜率,则切线方程为;(2)若恒成立,则恒成立,设,,,由,得,由,得,函数在上单调递增,在上单调递减..;(3)证明:结合(2),令,则,即,则,(当且仅当时取等号),,,…,,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 ,(,).【变式5-3】(2024·湖南长沙·统考一模)已知函数.(1)若有且仅有一个零点,求实数的取值范围:(2)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)易知函数的定义域为.由,可得.设,则,,且与有相同的零点个数.思路1:令,,则.当时,,则,即,可得在单调递减,则有且仅有一个零点.当时,显然,则,可得在单调递减,则有且仅有一个零点.当时,由,解得,,且.当时,,即,则单调递增;当时,,即,则单调递减.不难得知,,(令,故在单调递减,故,即,),则在有一个零点,可知不只一个零点,不合题意.综上,可知.思路2:令,.当时,在单调递减,有,即,可得在单调递减,则有且仅有一个零点.当时,.若,则,可得在单调递减,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 则有且仅有一个零点.若,存在,且,使得.后续过程同思路1.综上,可知(2)取,当时,,有,即,则.令,,则,即,从而.【题型6三角函数型不等式证明】满分技巧1、正余弦函数的有界性:;2、三角函数与函数的重要放缩公式:.【例6】(2023·全国·高三专题练习)当时,证明:恒成立.【答案】证明见解析【解析】由题意可知,函数的定义域为,先证明,令,则,令,其中,则,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以,,即,所以,,设,其中,则且不恒为零,所以,在上为增函数,故当时,,所以,,因为,故,故原不等式得证.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 【变式6-1】(2023·全国·模拟预测)已知函数,.(1)讨论的极值;(2)若,,求证:.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析【解析】(1)因为,所以.当时,,此时在R上单调递增,无极值.当a>0时,令,则,解得.当时,,此时单调递增;当时,,此时单调递减.所以当时,有极小值,极小值为.综上所述,当a≤0时,没有极值;当a>0时,有极小值,为,无极大值.(2)证明:因为,所以.要证,可证,分两步进行.①先证当时,.令,则.令,则.当时,,单调递增;当时,,单调递减.因为,所以,即.②再证当时,.易知,由(1)知,当,时,,即,所以当时,.令,,则,显然为减函数,,所以在上先正后负,先增后减,且所以,所以当时,,所以.因为当时,,即,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 所以.因为,所以,即,所以,即,所以.结合①②可知,即.【变式6-2】(2023·江苏常州·校考一模)已知函数.(1)若,求的值;(2)证明:当时,成立.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)解法一:由,得,又,所以是的极小值点,故,而,故,若,则,当;当,所以在单调递减,在单调递增,故是唯一的极小值点,也是最小值点,由,所以当且仅当时,解法二:由,得,又,当时,有恒成立,所以在上单调递减,又,则不成立,当时,令,得,则时,有时,有,即在单调递减,在单调递增,所以的最小值为,,函数在单调递减,单调递增,,当且仅当取等号,故;(2)当时,,设,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 当时,,又由(1)知,故,当时,,设,则,则在单调递增,,所以,则在单调递增,,综上,,即当时,.【变式6-3】(2024·陕西榆林·统考一模)已知函数.(1)求的极值;(2)已知,证明:.【答案】(1)极大值为,极小值为;(2)证明见解析【解析】(1),,令,可得.令,可得,令,可得,或所以在上单调递增,在和上单调递减.所以的极大值为的极小值为.(2)由,可得,所以.由对称性,不妨设,则,当且仅当时,等号成立,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 所以.由(1)可知在上的最大值为,所以,当且仅当时,等号成立,因为等号不能同时取到,所以.【题型7不等式恒成立求参问题】满分技巧1、利用导数求解参数范围的两种方法(1)分离参数法:将参数和自变量分离开,构造关于自变量的新函数,研究新函数最值与参数之间的关系,求解出参数范围;(2)分类讨论法:根据题意分析参数的临界值,根据临界值作分类讨论,分别解出满足题意的参数范围最后取并集。2、不等式恒成立问题转化:(1),(2),【例7】(2023·辽宁·高三校联考期中)已知函数,,,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】,等价于,记,即在上恒成立,.当即时,,在上单调递减,所以当时,即恒成立;当时,记,则,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 当时单调递减,又,,所以存在,使得,当时,,单调递增,所以,即,所以当时,即,不符合题意;当时,,不符合题意.综上,的取值范围是.故选:C【变式7-1】(2023·全国·模拟预测)已知函数,若对任意,恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】当时,,故,故,令,则,令,故,令,故,故当时,,当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,故,解得,故实数的取值范围为,故选:D【变式7-2】(2024·江西赣州·高三统考期末)设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求a和b的值;学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 (2)若,求m的取值范围.【答案】(1),;(2).【解析】(1)依题意知,当时,,即,所以,则,易得,于是,所以,即;(2)因为,所以原不等式可变为,记,则上式等价于,,记,则,于是在上单调递减,又,所以当时,,即,当时,,即,从而在上单调递增,在上单调递减,故,所以,故m的取值范围是.【变式7-3】(2024·山东枣庄·高三统考期末)已知函数.(1)若是增函数,求的取值范围;(2)若有两个极值点,且恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)由题意.因为函数在其定义域上单调递增,所以.设,①当时,函数在上单调递增,只须,无解.②当时,只须,解得:,综上所述:实数的取值范围是.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 (2)由(1)知,因为有两个极值点为,所以在上有两个不同的根,此时方程在上有两个不同的根.则,且,解得.若不等式恒成立,则恒成立.因为设.则,因为,所以,所以在上递减,所以,所以,即实数的取值范围为.【题型8不等式能成立求参问题】满分技巧1、形如有解问题的求解策略(1)构造函数法:令,利用导数求得函数的单调性与最小值,只需恒成立即可;(2)参数分离法:转化为或恒成立,即或恒成立,只需利用导数求的函数的单调性与最值即可。2、单变量不等式能成立问题转化(1),(2),3、双变量不等式成立问题:一般地,已知函数,(1)若,,总有成立,故;(2)若,,有成立,故;学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 (3)若,,有成立,故;(4)若,,有,则的值域是值域的子集.【例8】(2022·全国·高三校联考阶段练习)已知函数.若存在实数,使得成立,则正实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】令,则,当时,,函数在上单调递减,,若存在实数,使得不等式成立,等价于成立,又,,,所以.当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,为正实数,,又函数在上单调递增,,解得正实数的取值范围为.故选:C.【变式8-1】(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,对于存在的,存在,使,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为对于存在,存在,使,所以,,,又,,显然在上单调递减,则,当时,,即在上单调递增,则,由解得:,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 所以实数的取值范围为.故选:A.【变式8-2】(2023·河南·高三校联考阶段练习)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若,不等式在上存在实数解,求实数的取值范围.【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为;(2)【解析】(1)当时,,∴,由,得,由,得,所以函数的单调增区间为,单调减区间为;(2)原条件等价于:在上存在实数解.化为在上存在实数解,令,则,∴在上,,得,故在上单调递增,∴的最小值为,∴时,不等式在上存在实数解.【变式8-3】(2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)已知函数.(1)求曲线在处的切线方程;(2)(),若对任意,均存在,使得,求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意,则,即切线的斜率,且,即切点坐标为,所以曲线在处的切线方程为,即.(2)由题意可知:,因为的图象开口向上,对称轴为直线,则在上单调递减,可得,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 由(1)可设,则,所以,当时,;当时,,则在区间上单调递减,在区间上单调递增.且,可知在区间上只有一个零点,设为,当时,;当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,且,可得当时,,所以,解得,所以实数的取值范围是.(建议用时:60分钟)1.(2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末)设实数,若不等式对任意恒成立,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】,即,因为,所以,即恒成立,令,则,当时,单调递减,当时,单调递增,因为,所以,若时,不等式恒成立,则恒成立,若时,,恒成立,则也成立,所以当时,恒成立,所以得,即,设学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 当时,单调递增,当时,单调递减,所以,所以,即正实数的最小值为.故选:C.2.(2024·河北·高三石家庄精英中学校联考期末)设实数,若对恒成立,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由,则,,当时,,恒成立,即任意,对恒成立;当时,,即,其中,构造函数,则.,因为,所以,单调递增;则有,则,构造函数,则,令,解得,当时,,单调递增;当时,,单调递减,则,即当时,,故要使恒成立,则,即的取值范围为.故选:B.3.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)若关于的不等式在内有解,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由有意义可知,.由,得.令,即有.因为,所以,令,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 问题转化为存在,使得.因为,令,即,解得;令,即,解得,所以在上单调递增,在上单调递减.又,所以当时,.因为存在,使得成立,所以只需且,解得.故选:.4.(2024·陕西西安·高三统考期末)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)证明:.【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1),则,因为,所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)证明:的定义域为,要证明,只需证.设函数,则.当时,;当时,.所以.设函数,则,所以恒成立,从而,故5.(2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习)已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,若且,求证:.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析【解析】(1)由题意得函数定义域为,当时,,则令,得,故在上单调递增;令,得,故在上单调递减;学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 当时,,则当时,,故在上单调递增;当时,,在上单调递减;当时,,则当时,,故在上均单调递增;当时,,在上单调递减;当时,,等号仅在时取到,在上单调递增;当时,,则当时,,故在上均单调递增;当时,,在上单调递减;综上,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在上均单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在上均单调递增,在上单调递减;(2)当时,在上单调递增,在上单调递减,为函数的最大值点;若且,不妨设,则可得,要证明,只需证,此时,故只需证,即证;令,而,则,因为,所以恒成立,故在上单调递减,故,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 即,即,故得证.6.(2024·天津宁河·高三统考期末)已知函数,.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)求的单调区间;(3)设是函数的两个极值点,证明:.【答案】(1);(2)答案见解析;(3)证明见解析【解析】(1)当时,,得,则,,所以切线方程为,即;(2),当时,恒成立,在上单调递增,无减区间,当时,令,得,单调递增,令,得,单调递减,综合得:当时,的单调递增区间为,无减区间;当时,的单调递增区间为,的单调递减区间为;(3),则,因为是函数的两个极值点,即是方程的两不等正根,所以,得,令,则,得,学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司 则,所以,则,令,则,所以在上单调递增,所以,所以,即.7.(2024·陕西咸阳·统考模拟预测)已知函数.(1)求函数的极值;(2)证明:.【答案】(1)极小值0,无极大值;(2)证明见解析.【解析】(1)函数的定义域为,求导得,当时,,当时,,则函数在上递减,在上递增,所以函数在处取得极小值,无极大值.(2)证明:由(1)知,,即,,因此,当且仅当时取等号,令,,则,,而,所以.学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司

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