题型15 等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧（解析版）.docx

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题型15等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧技法01等差数列的性质解题技巧技法02等差数列前n项和的性质解题技巧技法03等比数列的性质解题技巧技法04等比数列前n项和的性质解题技巧技法01等差数列的性质解题技巧等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.知识迁移等差数列通项公式的性质（1）若，或（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则.根据等差数列的性质可得，解得，所以.例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝．学科网（北京）股份有限公司 因为{an}，{bn}都是等差数列,所以也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21,a5＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝.1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列中，，，则（   ）A．210B．190C．170D．150【答案】C【分析】根据等差数列的定义知公差为，然后利用求和公式结合等差数列通项性质求和即可；【详解】由知数列是公差为的等差数列，所以.故选：C.2．（2024·河南郑州·统考一模）已知数列为等差数列，，则（    ）A．19B．22C．25D．27【答案】A【分析】依题意由等差数列性质计算可得，利用等差中项计算可得，可求出.【详解】根据等差数列性质，由可得，所以可得，又可得，所以.故选：A学科网（北京）股份有限公司 3．（2023·全国·校联考二模）已知等差数列满足，，则（    ）A．25B．35C．40D．50【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可.【详解】设等差数列的公差为.由，得，即①；由，得，②；由①②得，则.故选：A.4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列中，若，则.【答案】24【分析】由等差中项的性质即可求解.【详解】因为在等差数列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案为：245．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知为等差数列，若，则的值为.【答案】【分析】先利用等差数列的性质求出，进而得，再代入所求即可．【详解】因为为等差数列，且，由等差数列的性质得，所以，故.学科网（北京）股份有限公司 故答案为：.技法02等差数列前n项和的性质解题技巧等差数列前n项和的性质是等差数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.知识迁移1.等差数列前n项和与函数关系令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数2.等差数列前n项和的性质（1），，……仍成等差数列（2）为等差数列推导过程：（一次函数）为等差数列（3）（4）例2-1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（    ）A．9B．C．12D．学科网（北京）股份有限公司 【详解】由已知，，，即3，，成等差数列，所以，所以，例2-2．（2023·辽宁大连·校联考二模）设是等差数列的前项和，若，则（    ）A．B．C．D．【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，，∴，，∴，，∴.例2-3．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）A．B．C．D．【详解】因为，为等差数列，所以，，所以，例2-4．（2022·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司 【详解】设，，.则，，所以.1．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A．0B．C．D．【答案】C【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：C.2．（2021·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】利用通项公式和求和公式可以得到为等差数列，利用此性质得到方程求解即得.【详解】∵，∴是等差数列，，是其中的连续三项，∴，解得故选:C.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】是以为首项，以数列的公差的一半为公差的等差数列，这是一个很有用的结论.3．（2024·广东广州·铁一中学校考一模）设是等差数列的前项和，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果.【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列.由，可设，则，于是依次为，所以，所以.故选：B4．（2024·广东中山·中山一中校考一模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可．【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，，因为等差数列前项和公式为，所以不妨令为常数，且，所以时，，．，，，.故选：A5．（2022·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则.【答案】16【分析】方法一：由等差数列的性质得：，，成等差数列，则学科网（北京）股份有限公司 ，求解即可得到答案；方法二：利用等差数列前项和公式，列出方程，求解即可得到答案.【详解】方法一：因为为等差数列的前项和，则，，也成等差数列，，，成等差数列，所以，解得.方法二：设等差数列的公差为，由为等差数列的前项和，且，，所以，解得：，所以.故答案为：166．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ）A．是递增数列B．是数列中的项C．数列中的最小项为D．数列是等差数列【答案】ACD【分析】利用数列的单调性可判断A选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B选项；解不等式，可判断C选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断D选项.【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，.对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；对于B选项，令，可得，B错；对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；对于D选项，，则，所以，，故数列为等差数列，D对.故选：ACD.学科网（北京）股份有限公司 技法03等比数列的性质解题技巧等比数列通项公式的性质是等比数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.知识迁移等比数列通项公式的性质（1）若或（2）若，为等比数列，则，仍为等比数列例3-1．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=A．B．7C．6D．由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝例3-2．（全国·高考真题）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）A．12B．10C．8D．为等比数列，则．学科网（北京）股份有限公司 1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（    ）A．4B．8C．32D．64【答案】D【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】由可得，又，故，则，解得，即.故选：D2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（    ）A．B．1C．16D．32【答案】C【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得，再根据等比数列的基本量求.【详解】由题意，，联立，则或因为是递增的数列，得，设等比数列的公比为，则.故选：C.3．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（    ）A．B．C．D．11【答案】A学科网（北京）股份有限公司 【分析】设，倒序相加再由等比数列的性质求解.【详解】设，则，所以.故选：A4．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）设是等比数列，且，，则.【答案】189【分析】由是等比数列，则，，，成等比数列，再根据新等比数列的性质计算即可.【详解】由是等比数列，设其公比为，则，，，构成等比数列，且公比为，，，则.故答案为：189.5．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程的两个根，则.【答案】5【分析】利用韦达定理，可得，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可.【详解】因为与是方程的两个根，所以，学科网（北京）股份有限公司 因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.技法04等比数列前n项和的性质解题技巧等比数列前n项和的性质是等比数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.知识迁移等比数列前n项和的性质（1），，……仍成等比数列（2）例4-1．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）A．7B．8C．9D．10∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.例4-2．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）．A．120B．85C．D．学科网（北京）股份有限公司 方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．例4-3．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列学科网（北京）股份有限公司 D．若是等比数列，则，，成等比数列对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；对于C，设等差数列的公差为，首项是，，，因此，则，成等差数列，C正确；对于D，若等比数列的公比，则不成等比数列，D错误.1．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（    ）A．13B．12C．6D．3【答案】A【分析】方法一，根据等比数列的性质可求得，可得，求得，可得解；方法二，同方法一求得，再根据等比数列前项和公式代入运算可得解.【详解】方法一因为，所以，，所以，所以.又，得，所以.故选：A.方法二因为，，所以，学科网（北京）股份有限公司 所以，所以.故选：A.2．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ）A．900B．1200C．D．【答案】B【分析】根据等比数列的性质及前项和公式计算即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，，得，所以，所以，所以．故选：．3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ）A．3B．4C．5D．7【答案】C【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案.【详解】法一：因为等比数列的公比为，则，，所以，解得.学科网（北京）股份有限公司 法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，所以，即，解得..故选：C4．（2024·云南曲靖·统考一模）已知等比数列的前项和为，且，则（    ）A．36B．54C．28D．42【答案】D【分析】利用等比数列前项和公式整体代入计算即可求得.【详解】根据题意设等比数列的首项为，公比为，易知；由可得，两式相除可得，即；所以.故选：D5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则.【答案】510【分析】利用等比数列的性质：，，，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果.【详解】因为数列为等比数列，由等比数列的性质知，，，，…，，…构成首项为，公比为的等比数列，且是该等比数列的前8项和，所以.故答案为：510.学科网（北京）股份有限公司