江西省庐山市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）.docx

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2023～2024学年高一第一学期期末考试数学试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：北师大版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由命题否定的定义即可得解.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”.故选：C.2.已知全集为R，集合，，则（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 C中，，错误.D中，由，则，，正确.故选：D．3.某班有45名学生，其中男生25人，女生20人．现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的男生人数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样的性质进行求解即可.【详解】因为用分层抽样的方法，所以应抽取的男生人数为，故选：C4.设，则“是合数”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由合数、充分不必要条件的概念即可得解.【详解】由是合数知，能得出，但由不一定能得出是合数，故“是合数”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.给出下列四种说法：①若事件A，B互斥，则与一定互斥；②若A，B为两个事件，则；③若事件A，B，C彼此互斥，则；④若事件A，B满足，则A，B是对立事件.其中错误的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据互斥事件及对立事件的定义及概率计算公式，逐个判定即可.【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件，故①错误；对于②，若A，B为两个事件，则,故②错误；对于③，若事件A，B，C彼此互斥，则，故③正确；对于④，若事件A，B满足，则A，B不一定是对立事件，例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”，事件“出现3次正面”，则,满足，但A，B不是对立事件，故④错误，故错误的命题有3个，故选:D.6.一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）A.小时B.小时C.小时D.小时【答案】A【解析】【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则，整理可得：，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 ，，，，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.7.已知函数的图象在上连续，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先由分段函数的图象在上连续可得，再分类讨论解不等式即可.【详解】由题知，，解得，所以，易知单调递增，，即，令得，令，得，所以，即的解集为，故选：8.已知定义在上的函数，满足，且，则（）A.1B.11C.12D.1024【答案】C【解析】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【分析】令，求得，令，求得，继而进一步计算即可.【详解】根据题中的条件，令，则，所以，令，则，又，所以,则，故选:C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.如果，，那么下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】A选项，由的单调性得到A正确；BD选项，可举出反例；C选项，由指数函数的单调性得到C正确.【详解】对于A，由函数在上单调递增知，故正确；对于B，取，，所以，故错误；对于C，因为在上单调递增且，所以，故正确；对于D，当，时，，故错误.故选：AC.10.给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（）A.极差为4B.标准差为C.众数为2和3D.80%分位数为4.5【答案】ACD第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据数据的数字特征逐项判断即可.【详解】对于A,极差为5-1=4,故A正确；对于B,平均数为，标准差为，故B错误；对于C，众数为2和3，故C正确；对于D，10×80%=8,将这组数据从小到大排列后第8个数和第9个数为4，5，故80%分位数为，故D正确，故选：ACD.11.已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D.【详解】幂函数的定义域为，，，∵函数在单调递增，，∴，即，故A正确；，，∵函数在单调递减，，即，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 ∴，即，故B错误；∵幂函数在上单调递增，，∴，，即，∴，故C正确；，∵，∴，即，故D正确.故选：ACD.12.对于任意两个正数，记曲线直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨最早发现.关于，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据确定出的结果，然后分类讨论、、、或时的结果，由此确定出的解析式，再根据解析式逐项分析即可.【详解】由题意，所以，当时，，当时，，当时，，当或时，也成立，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 综上所述，；对于A：，所以，故A正确；对于B：，且，所以，故B正确；对于C：如图，因为曲边梯形的面积总小于对应梯形的面积，所以，即，故C错误；对于D：取，则，故D错误；故选.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，对学生分析与总结问题的能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于能通过所给的关系式结合图形中的面积转化关系推导出函数的解析式.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么，在一次预报中，甲站、乙站预报都准确的概率为_____.【答案】0.56.【解析】【分析】记事件:甲站预报准确，事件：乙站预报准确，则事件为甲乙两站都预报准确，根据独立事件的乘法公式可得答案.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【详解】记事件:甲站预报准确，事件：乙站预报准确，则事件为甲乙两站都预报准确，且，，又与相互独立，所以.故答案为：0.56【点睛】本题考查了独立事件的乘法公式，属于基础题.14.若函数是偶函数，则正数a的值为________．【答案】【解析】【分析】由函数为偶函数可得，化简整理即可得解.【详解】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，即，所以，所以，所以.故答案为：.15.设二次函数的值域是，则的最小值是____________.【答案】2【解析】【分析】由二次函数值域确定参数关系，结合基本不等式即可求解.【详解】根据题意知，，，即，所以，当且仅当即时等号成立.所以的最小值是2.故答案为：2.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 16.已知函数，且时，，则的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解.【详解】，结合图形可得，，，∵，∴，∴，∴，∴.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（1）计算：；（2）已知，求及的值.【答案】（1）；（2）7；【解析】【分析】（1）根据指数及对数运算法则进行计算即可；（2）把条件平方可求得的值，先平方在开方利用条件即可求解.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：（1）.（2）由于，所以，.18.已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若在定义域上是增函数，解关于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件得及，即可解出参数；（2）根据条件写出不等式组，解出即可.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，又，所以，所以，经检验，此时，所以函数奇函数，满足题意，所以的解析式为.【小问2详解】由（1）知，函数是定义在上的奇函数，又在定义域上是增函数，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 所以由，可得，所以，所以，所以不等式的解集为.19.为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由各组频率之和为1（面积之和为1）可求得；（2）频率分布直方图用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和估计平均数；（3）用样本频率估计总体概率进行求解.【小问1详解】由题意，有，解得；【小问2详解】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 这种植物果实重量的平均数约为：，∴这种植物果实重量的平均数的估计值约为.【小问3详解】样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的频率为，由此估计某批10000个果实中，重量不低于37.5克，即优质果实的概率为，∴这批果实中的优质果实的个数约为个.20.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【解析】【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.【详解】（I）所有可能的基本事件为：共种.其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 共种，故概率为.（III）由（I）“两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.21.某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.【答案】（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.【解析】【分析】（1）根据题意结合分段函数即可求解；（2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值.【详解】解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元.依题意得，当时，.当时，.所以.（2）当时，，故当时，取得最大值4.5万元.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 当时，，当且仅当，即时，取得最大值14万元.所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.22.已知函数，其中a为常数.（1）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）已知，若函数在上有且仅有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性的判断方法确定出的单调性，由此列出不等式求解出结果；（2）先化简函数得到，然后根据的范围进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点的存在性定理求解出的取值范围.【小问1详解】令，因为为定义域内的单调递减函数，若满足在区间上单调递减，则在上单调递增即可，当时，在上单调递减，不符合题意；当时，为开口向下的二次函数，所以不可能在上单调递增；当时，只需满足，解得，综上所述，实数a的取值范围为；【小问2详解】因为在上有且仅有一个零点，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 所以在上有且仅有一个零点，记，当时，，且均在上单调递增，所以上单调递增，所以，所以，所以上有唯一零点，符合条件；当时，，的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，若满足题意只需，所以，解得；当时，，的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，若满足题意只需，所以，解得；综上所述，的取值范围是.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司