安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含解析.docx

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合肥六校联盟2023-2024学年高一年级第一学期期末联考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，，所以故选：A.2.下列各组函数表示相同函数的是（）A.和B.和C.和D.和【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误；对于C，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数,故C正确； 对于D，函数定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误.故选：C.3.函数的零点所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案.【详解】函数在上单调递增，，，故函数零点所在的区间为.故选：B4.函数的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性及诱导公式，结合特殊值即可求解. 【详解】由，解得,所以函数的定义域为,所以,所以为偶函数，函数的图象关于轴对称，排除选项B，而，排除选项C，，排除选项A，故选：D.5.设，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可.【详解】易知.故选：B6.已知函数（，）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用图象得出，，进而求得，再代入点坐标，可得，进而求出.【详解】由函数的图像可知，，则，．由，解得，则，故，.故选：B7.已知，且，则（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简，结合特殊角的三角函数值求出即可得解.【详解】由，得，即，由，得，则，即，所以.故选：B8.已知函数是定义在上的函数,.若对任意的,且有,则不等式的解集为 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】因为等式可化为,即,令函数,根据函数是上的增函数,即可求得答案.【详解】不等式可化为即令函数,由可得,结合函数是上的增函数又不等式,即不等式的解集为:.故选:C【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部答对得5分，部分答对得2分，有选错得0分.9.下列说法正确的是（） A.是第二象限角B.点是函数的一个对称中心C.若角终边上一点的坐标为（其中），则D.函数的图象可由函数图象向左平移个单位得到【答案】AC【解析】【分析】利用弧度制与角度制的转化及象限角的定义可判断A；直接代入检验即可判断B；利用三角函数的定义可判断C；利用三角函数的图象的平移变换可判断D.【详解】对于A，的终边与的终边相同，所以为第二象限角，故A正确；对于B，由，故B错误；对于C，利用三角函数的定义知，故C正确；对于D，由，可由函数的图象向左平移个单位得到，故D错误；故选：AC．10.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一个元素，则C.关于的不等式的解集，则不等式的解集为D.“”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】【分析】因为命题否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断. 【详解】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.故选：CD11.若实数m，，满足，以下选项中正确的有（）A.mn的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.最小值为【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值.【详解】解：对于A，由m，，得，又，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，所以mn最大值为，选项A正确；对于B，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项B错误；对于C，由，得，所以 ，当且仅当，即时等号成立，又m，，所以，选项C错误；对于D，由m，，，得，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项D正确．故选：AD．12.已知函数函数，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则有3个零点D.若，则有5个零点【答案】ACD【解析】【分析】对A：直接计算即可；对B：先求得或，再求值；对CD：先由求得，，再依次求的解.【详解】对A：，，故A正确；图1对B：若，则或， 当时，或，当时，由图1可知或，故B错误；对C：若，由图1可知则或，当时，由知只有一解，当时，由图可知有两解，故有3个零点，故C正确；对D：若，，由图2知或或，当时，只有一根，当时，只有两根，当时，只有两根，所以共有5根，故D正确.图2故选：ACD【点睛】方法点睛：求解个数方法：先得，再进一步由分别求出的个数，所有x的个数总和为方程解个数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则___________.【答案】## 【解析】【分析】由内向外先求，再计算即可【详解】由题意得，，所以.故答案为：.14.已知，则________．【答案】##0.5【解析】【分析】由诱导公式可得答案.【详解】由诱导公式，.故答案为：.15.若函数值域为，则的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】先设函数值域为，再根据对数函数定义域和值域的关系，可得，再分和两种情况讨论求解．【详解】设函数值域为，由函数值域为，则，当时，的值域为，符合题意；当时，由，解得，所以的取值范围为． 故答案为：．16.已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则__________.【答案】或【解析】【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.【详解】因为，且在区间上有最小值无最大值，则，则，可得，解得，且，解得，可知：或1，或故答案为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解. 【小问1详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：原式.【小问2详解】由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：.18.设全集,集合，集合．（1）若时，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先计算出的结果，然后根据的结果即可求解出；(2)根据得到与的关系，从而可求解出的取值范围.【详解】(1)因为或，当时，，所以；(2)因为，所以，当时，，所以，此时满足条件，当时，因为，所以或，解得或综上或，即.【点睛】本题考查集合间的基本运算以及根据集合间的运算结果求解参数范围，难度较易.(1)已知集合 ，若则，若则；(2)利用集合间的运算结果求解参数时，注意集合为空集的特殊情况.19.已知幂函数的图象过点.（1）求函数的解析式;（2）设函数在上是单调函数，求实数的取值组成的集合.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解得答案.（2）确定，函数图象的对称轴为，根据单调性得到或，解得答案.【小问1详解】的图象过点，所以，则，函数的解析式为.【小问2详解】，所以函数图象的对称轴为，若函数在上是单调函数，则或，即或，所以实数的取值组成的集合为或.20.已知函数．（1）求的最小正周期和单调增区间；（2）若，求的值．【答案】（1），增区间为（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式，二倍角的正弦和余弦公式和辅助角公式化简，由最小正周期公式求出 的最小正周期；令，即可求出单调增区间；（2）由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案.【小问1详解】故周期为，令，，所以的增区间为.【小问2详解】，故.21.已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将 的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.（1）求的解析式.（2）若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的相关知识与图象的变换求解即可；（2）方程有解求参数的取值范围问题，转化为求函数的最值问题求解即可.【小问1详解】因为函数的最大值为，所以，又与直线的相邻两个交点的距离为，所以，所以，则.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，得到，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.【小问2详解】，在上有实数解，即在上有实数解，即在上有实数解， 令，所以，由，所以，所以，则，同时，所以，所以在上有实数解，等价于在上有解，即在上有解，①时，无解；②时，有解，即在有解，即在有解，令，，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为，所以在有解等价于.综上：.22.已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立.（1）求证：函数在上为增函数.（2）若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明； （2）利用已知条件和函数单调性，转化为恒成立问题即可求解.【小问1详解】任取，且，因为，所以，故，因为，所以，又因为当时，，所以，所以，所以，即，所以在上为增函数.【小问2详解】当时，，解得，关于的不等式恒成立，等价于恒成立，因为，，所以，即恒成立.因为在上为增函数，所以，又因为在上单调递减，由题意可得，恒成立，即恒成立，令，因为，则， 所以恒成立，等价于恒成立，令，则，因为函数对称轴为，所以函数在上单调递增，故，解得，