安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷 Word版含解析.docx

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1号卷·A10联盟2023级高一下学期2月开年考数学（人教A版）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解出指数不等式，得到集合，再解出一元二次不等式得到集合，最后根据集合的交并补即可.【详解】由题意得，，或，或，，故选：B.2.若，则（）A.B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】把指数式化对数式，根据对数运算性质进一步化简即可.详解】由，得，，，.故选:C.3.已知正实数x，y满足，则的最小值为（） A.B.4C.D.8【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式及题中条件建立不等式，解出即可.【详解】，，，，即，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为8.故选：D.4.点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可知不妨设点所对应的角为，再利用诱导公式求出，，即可得解.【详解】因为，所以不妨设点所对应的角为，则，，，所以点的坐标为即.故选：C.5.若，，，则a，b，c的大小关系为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可.【详解】由题意得，，，，，，.故选：D.6.已知角，满足，，则（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据商数关系得到，再利用两角和与差的余弦公式计算即可.【详解】，，，，，故选：A.7.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，，解得.故选：C.8.如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值.【详解】连接，.设，，在中，，由得，.在中，，，. 令，则，且，则，当且仅当，即时取等号.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算中正确是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等变形的公式逐一计算判断.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误. 故选：BC.10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C.的图象关于点对称D.若方程在上有且只有6个根，则【答案】AD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用函数的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】由图象得，，，而，则，，由的图象过点，得，解得，而的周期有，即，解得，因此，，A正确；函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是，非奇非偶函数，B错误；，C错误；显然，若方程在上有且只有6个根，则，D正确.故选：AD11.已知是定义在R上的偶函数，若，，且，恒成立，且，则满足的实数m的值可能为（）A.B.C.1D.3 【答案】ABD【解析】【分析】构造函数，根据条件确定其单调性和奇偶性，然后利用单调性和奇偶性来解不等式即可.【详解】由已知等价于，令，则，又，所以函数在上单调递减.因为是偶函数，所以是偶函数，且.因为，即，即，所以或，解得或.故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数过点，则____________.【答案】【解析】【分析】设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式，最后代入求值即可.【详解】设，则，解得，所以，则.故答案：13.函数的值域是____________.【答案】 【解析】【分析】分离常数后，根据正弦函数的值域，逐步计算即可.【详解】，因为，所以，所以，所以，即函数的值域是.故答案为：.14.中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置__________能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，）【答案】13.3【解析】【分析】根据题意列出等式，可得，根据条件列出方程，解出即可.【详解】由题意得，，即，则.设大约需要再放置能达到最佳饮用口感，则，即，则，所以，解得.故答案为：13.3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知集合，命题“，”是真命题.（1）求实数a的取值集合B；（2）在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列式求解即得.（2）由（1）的结论，利用充分不必要条件的定义，借助集合包含关系求解即得.【小问1详解】由命题“，”是真命题，得，解得或，所以实数a的取值集合.【小问2详解】显然，由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，则或，解得或，所以实数m的取值范围是.16.近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.（1）求的解析式；（2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可；（2）根据题中条件建立不等式，解出即可.【小问1详解】如图，建立平面直角坐标系，当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为，则，由题意得，，，解得，所以.注：写成也给分.【小问2详解】令，则，即，所以，解得.当时，，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒.17.已知函数.（1）若，且，求函数的零点；（2）若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，解出方程即可；（2）考查函数的单调性，可得，转化为关于x的方程有两个不同的根，换元后转化关于λ的方程有两个不同的正实数根，，列出不等式组，解出即可.【小问1详解】若，且，则，令，则，解得，即函数的零点为0.【小问2详解】因为，所以函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增，所以函数在定义域内单调递增.因为函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，故， 所以关于x的方程有两个不同的根，所以，即有两个不同的根.令，则，则关于λ的方程有两个不同的正实数根，，所以，解得，故实数t的取值范围为.18.已知函数.（1）若，求的值；（2）设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后根据条件得的值，再将转化为用表示，代入的值计算即可；（2）先根据三角函数的性质求出的范围，然后将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【小问1详解】由已知， 若，则，即，所以；【小问2详解】由题意得，，所以，因为，所以，所以.由题意可知不等式在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得，即实数m的取值范围为.19.已知函数的定义域为，，且当时，.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式：；（3）已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2） （3）【解析】【分析】（1）通过赋值法，利用奇函数的定义进行判断即可；（2）考查函数的单调性，利用单调性转化不等式求解即可；（3）根据题意知，即，分类讨论求得，解出不等式即可.【小问1详解】为奇函数.令，则，解得.令，则，即，又的定义域关于原点对称，所以为奇函数.【小问2详解】令，则，因为，所以，，则，因为，所以.因为当时，，为奇函数，所以当时，，所以，即，因为，所以在为减函数. 因为，所以，解得，即不等式的解集为.【小问3详解】因为，，使得成立，所以，由上可知，即.因为的对称轴为，.①当，即时，在上单调递增，则，所以，解得，所以；②当，即时，在上单调递减，则，所以，解得，所以；③当时，在上先减再增，则，所以，解得或，所以；综上所述，实数b的取值范围是.