安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期9月初开学摸底考试数学 Word版含解析.docx

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安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期9月初开学摸底考试数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数满足，则（）A.B.C.5D.【答案】D【解析】【分析】计算并求其模长即可.【详解】，.故选：D2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求集合A中函数的值域，求集合B中的不等式，得到这两个集合，再求补集和并集的运算.【详解】由，得，不等式解得或，则，所以，得.故选：B3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示幸福感指数越高．已知甲、乙、丙、丁4人的幸福感指数分别为，则这4人的幸福感指数最高的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别估算出甲，乙，丙，丁四人的幸福感指数的范围，即可判断.【详解】甲：，即，；乙：；丙：；丁：由幂函数在上递增，；所以乙的幸福感指数最接近10，幸福感指数最高.故选：B.4.若向量，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由投影向量的定义，利用向量数量积和向量的模，计算即可.【详解】向量，则在上的投影向量为.故选：A5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及函数的符号分析判断.【详解】对于选项A：因为的定义域为，与图象不符，故A错误；对于选项B：因为，且定义域关于原点对称，即为偶函数，图象关于y轴对称，与图象不符，故B错误；对于选项D：因为，当，则，与图象不符，故D错误；故选：C.6.已知顶角为的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长的比值为黄金分割比，根据上述信息，可得（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出等腰三角形，以为底边，，求出的值，再利用诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】如图，在等腰三角形中，为底边，，，作，则，， .故选：A.7.某校积极开展“戏曲进校园”活动，为了解该校各班参加戏曲兴趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本标准差为2，且样本数据互不相等，则该样本数据的极差为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根据样本平均数、标准差及极差的定义分类讨论计算即可.【详解】不妨设该五个班级的样本数据分别为，且，则依题意有，化简得易知，又易知五个数据减7的平方数为整数，五个数的绝对值不超过4，当时，，由数据为整数且均不相同得不成立，当时，，由数据为整数且均不相同得该四个平方数只能为，则，符合题意，此时极差为6；当时，，由数据整数且均不相同得不成立；综上，五组数据的极差为6.故选：D【点睛】本题关键在于对五组数据减7的平方数进行讨论，排除.8.在中，为的中点．将沿翻折，得到三棱锥，当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面，是边长为1的正三角形，平面，将三棱锥补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解.【详解】由题意，，二面角的平面角是，，又，是边长为1的正三角形，平面，将三棱锥补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取外接圆的圆心，外接圆的圆心，根据对称性知正三棱柱的外接球球心是的中点，，，又是边长为1的正三角形，点是其外心，，在中，，即，三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若函数在区间内单调递增，则可以是（） A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】将每个选项代入并化简，检验在是否单增.【详解】对A：，当时，，在为增函数，故A正确.对B：，当时，不单调，故B错误.对C：，同A正确；对D：，当时，，在不单调，故D错误.故选：AC10.一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则（）A.若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件B若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立C.若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率D.若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是【答案】AD【解析】【分析】对于A，根据互斥事件概念判断；对于B，互斥事件不可能是相互独立事件；对于C，有放回地抽取每次抽到红球的概率均相等；对于D，使用对立事件计算概率.【详解】对于A，若不放回地抽取两次，则取到的球不可能是2个红球和2个白球，所以“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件，故A正确； 对于B，若不放回地抽取两次，记事件A：“取到2个红球”，记事件B：“取到2个白球”，则A与B是互斥事件，所以，而，所以，所以A与B不是相互独立事件，故B错误；对于C，若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率为，第2次取到红球的概率为，所以第1次取到红球的概率等于第2次取到红球的概率，故C错误；对于D，若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是，故D正确.故选：AD.11.在中，内角的对边分别为．则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则角为钝角C.若均不为直角，则D.若，则唯一确定【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值、向量运算、两角和的正切公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，，，，所以A选项错误.B选项，，即，即，由正弦定理得，则，由于，所以，所以，所以为钝角，所以B选项正确.C选项，， ，所以，C选项正确.D选项，，所以，所以有两解，所以D选项错误.故选：BC12.已知函数，则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】先求命题成立的充要条件，然后利用取值范围的真包含关系，得充分不必要条件.【详解】由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以时，，函数在单调递增，所以时，对，使得成立，则有，即，得对，使得成立的充要条件为，各选项中，有ÜÜÜ则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是BCD选项.故选：BCD 第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数．则________．【答案】5【解析】【分析】根据分段函数计算即可.【详解】，，故答案为：514.若，且，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式、一元二次不等式求得的最小值.【详解】，当且仅当时等号成立，，，，所以的最小值为.故答案为：15.在棱长为3的正方体中．点在棱上，且，记过点的平面与侧面的交线为．且，则的长为________．【答案】【解析】【分析】作出过的平面，由此确定的位置，进而求得的长.【详解】连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，过作，交于，则，所以四点共面，故即直线， 由于，所以，所以.故答案为：16.已知向量，记函数，若在上单调递增．则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求的取值范围.【详解】向量，，由，当，有，则，依题意有，解得.所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设向量为单位向量，且．（1）求与夹角的大小； （2）已知向量，若，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件，利用向量数量积和向量的模，求与夹角的大小；（2）利用向量共线的条件，有，列方程求实数的值．【小问1详解】向量，为单位向量，，，，，则，设与夹角为，则，由，所以与夹角的大小为.【小问2详解】已知向量，由与不共线，若，则使，即，有，解得.18.中国人民志愿军被称为“最可爱的人”，2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年，为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩，按进行分组，得到如下的频率分布直方图．（1）求图中的值及估计这50名党员的成绩的平均数；（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和内的党员中共抽取4人，再从这4 人中任选2人在会上进行演讲，求这2人的成绩不在同一区间的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用面积之和为1求，根据频率分布直方图中平均数的求法求成绩的平均数；（2）计算成绩在和内的党员人数，根据分层抽样确定两个区间内抽取人数，根据古典概型求概率.【小问1详解】由图可知：，所以.平均数：.所以这50名党员的成绩的平均数.【小问2详解】由图可知分数在的概率为，分数在的概率为，所以若按分层抽样从这两组中抽4人，则分数在的人数为3人，分数在的人数为1人，所以从4人中任选2人有种，若2人的成绩不在同一区间，则有种，所以，所以这2人的成绩不在同一区间的概率为．19.已知函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）在（1）的条件下，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义求解.（2），令换元后求值域即可.【小问1详解】因为为奇函数，所以，即，所以.【小问2详解】,令，则，因为，所以，所以的值域．20.如图所示，四边形为圆的内接四边形，其中．（1）求的值；（2）求四边形的面积及圆的半径．【答案】（1） （2）；.【解析】【分析】（1）连接，由为圆内接四边形，得到，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，求得，进而求得的值；（2）令三角形的面积公式，分别求得和，结合，再由余弦定理，求得的长，结合正弦定理，即可求得四边形外接圆的半径.【小问1详解】解：如图所示，连接，因为四边形为圆内接四边形，可得，所以，在中，由余弦定理可得，即，中，由余弦定理可得，即，所以，解得，又因为，所以.【小问2详解】解：由（1）知，，因为，可得，所以，，所以四边形的面积，在中，由余弦定理可得 ，所以，设四边形外接圆的半径为，可得，所以四边形外接圆的半径为.21.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若与的图象关于对称，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的图象，得到，求得，再根据 ，得到，结合，求得，即可求解；（2）根据三角函数的图象变换和对称性，求得即，由，结合余弦函数的性质，得到，即可求解.【小问1详解】由函数图象，可得，所以，又由，所以，可得，所以，因为，即，解得，即，又因为，所以，所以，即函数的解析式为.【小问2详解】将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，设是函数的图象上的任意一点，点关于直线的对称点为，则，代入函数，可得，即，又由不等式，即，设，即，由余弦函数的性质，可得，即， 解得或，即，即不等式的解集为.22.如图，平面，四边形为矩形，且为的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的正切值；（3）探究在上是否存在点，使得∥平面，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）为中点时，∥平面【解析】【分析】（1）根据线面角的几何法即可利用线面垂直求解，（2）利用垂直关系求解二面角的平面角，由三角形的边角关系即可求解，（3）利用线线平行即可求证线面平行.【小问1详解】取中点为，连接,由于四边形为矩形，分别为中点，所以,由于平面，平面,所以平面平面，又平面平面,平面,所以平面,故为直线与平面所成的角，, 故.【小问2详解】由于,所以,又平面，平面，所以，平面，平面,平面,故,故即为二面角的平面角，由于为直角三角形，且，故【小问3详解】取中点为，中点为,连接,则,又,因此故四边形为平行四边形，故,平面,平面，故平面,因此在上是存在点，使得平面，此时为中点，