四川省绵阳市南山中学2024届高三下学期入学考试数学（理）试题（原卷版）.docx

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绵阳南山中学高2021级高三下期入学考试题数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）AB.C.D.2.设，若复数在复平面内对应点位于虚轴上，则（）AB.C.D.3.执行如图所示的程序框图，输出的（）A.18B.22C.25D.4.已知向量，满足，，且，则（）A.5B.C.10D.5.设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则（）A.31B.C.15D.6.逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（　　） A.B.C.D.7.设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知曲线，的一条渐近线与圆交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.9.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A50B.36C.26D.1410.已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.11.如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.12.已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数为偶函数，则实数______________.14.若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.15.如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为_________；16.已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17.已知数列的前n项和为，，其中．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．18.如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值．19.第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.（1）完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820.已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为的直线与抛物线交于两点，且 ，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，求证：当时，恰有两个零点.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线的参数方程是（为参数，为直线的倾斜角），与交于A，两点，，求的斜率.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数的最小值为．（1）求的值；（2）若，且，求最小值．