广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学 Word版含解析.docx

《广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2023-2024学年度第二学期高二年级开学考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，，，则（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求补集，进而求出交集.【详解】，故.故选：C.2.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于(　　)A.B.C.-D.-【答案】A【解析】【详解】分析：计算，由z1，是实数得，从而得解.详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是实数，所以，即.故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.3.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】通过题干条件得到面的法向量，，求法向量和的夹角即可.【详解】由题知，为平面的一个法向量，又因为，所以.故答案为C.【点睛】求线面角，一是可以利用等体积计算出直线端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．4.已知直线，，若，则实数（）A.或1B.0或1C.1D.【答案】D【解析】【分析】讨论，根据两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当时，的斜率不存在，的斜率为0，此时，不合题意；当时，由可得，解得，故选：D【点睛】本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题.5.直线与圆相切，则实数b的值是（）A.或12B.8或C.8或D.8或12【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆相切求b的值.【详解】圆的圆心为，半径，因为直线与圆相切，所以，解得或12.故选：A6.已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A 的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】设，且，到准线的距离为，则，解得，则，，.故选：A7.等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lgan}的前10项和等于(　　)A.2B.lg50C.5D.10【答案】C【解析】【详解】由题意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10，即a1a2…a9a10＝105，所以数列{lgan}的前10项和等于lga1＋lga2＋…＋lga9＋lga10＝lga1a2…a10＝lg105＝5选C8.已知椭圆＝1的左焦点为F1，右顶点为A，上顶点为B.若∠F1BA＝90°，则椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，列出关于的等式关系，进而可得解.【详解】根据已知得－＝－1，即，由此得，即－1＝0，即，解得(舍去负值)．故选：二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为（）A.5B.13C.8D.21【答案】AB【解析】【分析】分类讨论焦点所在的位置，结合椭圆的性质分析求解.【详解】由题意可知：椭圆的半焦距长为，若焦点在x轴上，则，解得；若焦点在y轴上，则，解得；综上所述：实数的值是5或13.故选：AB10.已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且，则（）A.B.或2C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据已知可求出数列的公比，即可依次判断每个选项的正误.【详解】设的公比为q，∵，，，∴，∴，故选项A正确，B错误．，∴选项C，D正确．故选：ACD.11.已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（）A.2B.3C.4D.1【答案】BC【解析】【分析】在同一坐标系中作出两函数的图象，观察图象可得到a的取值范围. 【详解】在同一坐标系中作出函数与的大致图象，如图所示，两图象都经过，易知只有时才能在的区域有第二个交点，故的取值范围.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线，（）的离心率为，则实数a的值为_______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的离心率，得到关于的等式，从而求出的值.【详解】双曲线，（）的离心率为，解得.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.13.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.【答案】1【解析】【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.【详解】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.圆的圆心为，半径为. 到直线的距离为：，解得.故答案为：14.将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即___________．【答案】【解析】【分析】由题意知：,由累加法得通项公式.【详解】各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，可知：，，，，由累加法得：，解得：.故答案为：（或）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知空间向量．（1）计算和;（2）求与夹角余弦值．【答案】（1）,（2）．【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】 由题可得．【小问2详解】由题可得，，,与夹角的余弦值为．16.已知是一个等差数列，且．（1）求的通项公式;（2）求的前项和的最大值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组即可求解；（2）利用等差数列的前项和公式可得关于的二次函数，利用配方法即可求解.【小问1详解】设的公差为，由已知条件得解得，∴．【小问2详解】，∴当时，取得最大值4．17.已知抛物线与直线相切．（1）求抛物线C的方程；（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若，求弦 的中点到直线的距离．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）将直线与抛物线方程联立，由相切求得，写出抛物线方程.（2）根据过焦点的弦长公式求得，即得的中点的横坐标得答案.【小问1详解】联立，化简得，即，令，因为，解得，故抛物线C的方程为．【小问2详解】点即为抛物线C的焦点，设A的坐标为的坐标为，则，故，则弦的中点的横坐标是，故弦的中点到直线的距离是．18.如图，在四棱锥中，底面．（1）求证：平面．（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据，可得平面．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再求点A到平面的距离．【小问1详解】底面平面．．又平面．【小问2详解】设，取的中点E，易得三角形是正三角形，．又底面平面，．在中，所以，可建立如图所示的空间直角坐标系，则．设平面的一个法向量为，则 即令，得．设平面的一个法向量为，则即令，得．所以，．设平面的一个法向量为，则即令，得．∴点A到平面的距离为．19.对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）根据题中所给的条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得是等差数列.【详解】（1）因为，，但，所以数列不具有性质，同理可得数列具有性质；（2）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即，由性质的含义可得，，，，所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即为有限集；（3）因为数列具有性质，又具有性质，所以存在，使得，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得，若，则取，可得，若，则取，可得，记，则对于，有，显然， 由性质的含义可得：，所以，所以，又满足最小的正整数，所以，，所以，所以，取，所以，若是偶数，则，若是奇数，则，所以，，所以是公差为1的等差数列.【点睛】该题考查的是有关与数列相关的创新题，涉及到的知识点有对新定义的理解，属于难题.