湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题 Word版含解析.docx

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炎陵县2023年高一下期期末检测试题数学试卷（考试范围：必修一）时量：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案要填涂在答题卷上）1.已知全集集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据并集和补集的定义即可求得.【详解】由题知,又，则.故选：B.2.命题“”的否定为（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接由命题的否定的定义即可得解.【详解】命题“”的否定为.故选：B.3.若锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先由cosα＝，cos(α＋β)＝，求出sinα＝，sin(α＋β)＝，而sinβ＝sin[(α＋β)－α]，然后利用两角差的正弦公式展开，代值求解即可【详解】解：∵cosα＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，∴0<α＋β<，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.故选：C4.已知，则的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为，所以.当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故选：D5.函数的定义域为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数有意义可得到一元一次不等式组，解之即得.【详解】要使函数有意义，须使解得：, 即函数的定义域为.故选:D.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】要说明“”不是“”的充分条件，只需举反例即可；要得到“”是“”的必要条件，则必须推理.【详解】若取，显然满足，但,即“”不是“”的充分条件；若，因函数的定义域为,则必有成立,即“”是“”的必要条件.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7..已知函数的零点分别为，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解.【详解】因为函数的零点分别为，可转化为与三个函数的交点的横坐标为，在同一坐标系下，画出函数与函数的图象，如图所示， 结合图象可得：.故选：B.8.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）．【详解】由已知，，扇面面积故选：B．二、多项选题：（满分20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.设函数，若，则的取值可能是（）A.0B.3C.D.2【答案】AB【解析】 【分析】根据分段函数的定义分类讨论求值即可.【详解】若，则解得，满足题意；若，则解得，满足题意；故选:AB.10.下列等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.【详解】，A正确；，B错误；，C正确；，D正确；故选：ACD11.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）A.B.CD.【答案】BC【解析】【分析】A选项，当时，，进而得到函数单调性，A错误；BD选项，求出 ，进而得到函数的单调性，利用求出最小正周期；C选项，根据的周期和单调性得到C正确.【详解】A选项，当时，，由于在上单调递减，故在上单调递减，不合要求，A错误；B选项，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，又，故以为最小正周期，B正确；C选项，以为最小正周期，且在区间上单调递增，C正确；D选项，当时，，由于在上不单调，故在上不单调，D错误.故选：BC12.下列说法正确的是（）A.若则B.函数是奇函数C.函数是R上的增函数D.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.【答案】BD【解析】 【分析】由化简可判断A；由奇偶函数的定义可判断B；判断的单调性可判断C；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A，因为，所以，，故A错误；对于B，设的定义域为，解得：，关于原点对称，，，所以，所以为奇函数，故B正确；对于C，函数是R上的减函数，故C错误；对于D，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题部分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．15题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡中相应的横线上）13.已知为锐角，且，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.【详解】因为为锐角，且，所以，所以， 故答案为:.14.若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】对指数函数的底数进行分情况讨论求出值，代入所求函数，判断单调性即得其最大值.【详解】当时，在上为增函数，则，解得；当时，在上为减函数，则，解得（舍去）；于是函数，显然在上为增函数，故当时，.故答案为：.15.已知函数,①当时，在上的最小值为__________；②若有2个零点，则实数a的取值范围是__________.【答案】①.；②.或．【解析】【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；②结合函数和的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．【详解】①，时，是增函数，，时，是增函数，因此，所以时，的最小值是；②作出函数和的图象，它们与轴共有三个交点，，， 由图象知有2个零点，则或．故答案为：；或．16.科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为，经检测生物中该元素现在的存量为，（参考数据：）请推算该生物距今大约___________年．【答案】3780【解析】【分析】由指数函数模型求解．【详解】设放射性元素的存量模型为，由已知，所以，，，设题中所求时间为，则，，，，∴，．故答案为：3780.四、解答题（本大题共6小题，共70分.）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）用分数指数幂和对数的运算性质解决问题即可；（2）由诱导公式把式子转化为锐角的三角函数值解决问题即可.【小问1详解】 .【小问2详解】.18.已知与3是函数的两个零点（1）求的解析式；（2）若求的取值范围；（3）若，求函数的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数零点定义将其转化成方程组，解之即得；（2）由（1）的结论解不等式即得；（3）将二次函数配方得到对称轴，结合图象单调性计算即得函数的值域.【小问1详解】由题知函数的图象经过两点，则解得,所以解析式为；【小问2详解】由解得，所以的取值范围为；【小问3详解】因为，函数图象的对称轴为直线，因，则函数在时为减函数，在为增函数，于是时，又，故得函数的值域为.19.已知. （1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由齐次的弦求出正切值，代入两角和的正切公式计算即得；（2）利用二倍角公式和诱导公式化简,构造分母1使分子分母齐次，再化弦为切计算即得.【小问1详解】由可知，则，故，即的值为.【小问2详解】.即的值为.20.已知是定义在上的偶函数，且时，.（1）求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上解析式为，函数上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】【分析】(1)设，则，根据题意得出，然后利用函数为偶函数即可求解；(2)结合（1）的结论，求出，将不等式等价转化为，解之即可求解.【小问1详解】 设，则，所以，又因为是定义在上的偶函数，所以，则函数在上的解析式为，函数在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由（1）可知：，所以不等式可化为，结合函数的单调性可知：，解得：，所以实数的取值范围为.21.2022年我市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．（1）求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额－成本）【答案】（1）（2）2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元【解析】【分析】（1）根据利润=（销售额－投入成本－固定成本）求出关于的函数关系式；（2）分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润.【小问1详解】由题知当时，当时， 所以【小问2详解】若，，所以当时，若，，，当且仅当即时，．因为,所以2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元.22.已知是函数的一个零点.（1）求实数的值；（2）求单调递减区间.（3）若，求函数的值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数的值；（2）利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用余弦函数的单调性求得的单调递减区间；（3）根据（2）问的化简得到，由，得到的范围，结合余弦函数的图象分析即可求得值域.【小问1详解】因为又,解得.【小问2详解】 由（1）可得,令得，所以的单调递减区间为，.【小问3详解】，，，即故时，函数的值域为.