湖南省张家界市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含解析.docx

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张家界市2023年普通高中一年级第一学期期末联考数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由集合为函数值域，用列举法表示，再由交集运算可得.【详解】设，，则，故集合，则.故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B.3.已知扇形的半径为3，圆心角弧度数为2，则其面积为（）A.18B.12C.9D.6【答案】C【解析】【分析】由扇形弧长与面积公式可得.【详解】已知扇形的半径，圆心角弧度数，则由扇形弧长公式与面积公式得.故选：C.4.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；对于B，由，若，则，故B错误；对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；对于D，取，满足条件，但，故D错误.故选：C.5.学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（）A.20人B.17人C.15人D.12人【答案】B【解析】【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合，则参加田径运动同学人数，参加球类运动会的同学人数，两次运动会都参赛的同学人数，则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为.故选：B.6.为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解，【详解】当时，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故选；C 7.英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了如下公式：，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，计算器使用的这种方法叫数值计算法.比如，用前三项计算，就得到.运用上述思想，可得到的近似值为（）A.0.83B.0.84C.0.85D.0.86【答案】B【解析】【分析】根据题意将代入的前三项计算可得结果.【详解】用前三项计算可得，即的近似值为.故选：B8.若，，，，则a，b，c，d的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换可将式子化简为，再由余弦函数单调性即可比较得出大小.【详解】易知； ；；由余弦函数在上单调递减，且,所以可得，即.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各命题中，p是q的充要条件的有（）A.p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例B.p：四边形是菱形；：四边形的对角线互相垂直C.：；：，D.：；：【答案】AD【解析】【分析】根据充要条件的判断方法，逐项判断即可.【详解】对A：“两个三角形相似”，可得“三角形三边对应成比例”，所以p是q的充分条件；又“两个三角形三边成比例”可得“两个三角形相似”，所以p是q的必要条件.所以p是q的充要条件，故A正确；对B：因为对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，所以p不是q的充要条件，故B错误；对C：由“”“或”，所以p不是q的充要条件，故C错误；对D：，所以p是q的充要条件，故D正确.故选：AD10.函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sinx的图象经过下列哪项变换而得到()A.向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍B.向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍C.横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D.横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍【答案】BD【解析】【分析】由下面两种变换顺序：①y＝sinx→y＝sin(x＋)→y＝sin(2x＋)→y＝3sin(2x＋)；②y＝sinx→y＝sin2x→y＝sin(2x＋)→y＝3sin(2x＋).【详解】①将由y＝sinx的图象向左平移得到函数y＝sin(x＋)，再横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到函数y＝sin(2x＋)，再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin(2x＋).②将由y＝sinx的图象横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到函数y＝sin2x，再向左平移得到函数y＝sin(2x＋)，再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin(2x＋).故选：BD．11.已知函数，其中，且，则下列结论中正确的是（）A.函数是奇函数B.函数在其定义域上有零点C.函数的图象过定点D.当时，函数在其定义域上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】A项，由奇函数定义可得；B项，由方程有解可知函数有零点；C项，由可知；D项，由两个增函数的的和函数仍为增函数可得.【详解】选项A，由，，定义域为，关于原点对称.且，所以函数是奇函数，故A正确； 选项B，令，解得，则在其定义域上有零点，故B正确；选项C，因为，所以函数的图象过定点，不过，故C错误；选项D，当时，，所以是增函数，且是减函数，则是增函数，所以也是增函数，故D正确.故选：ABD.12.已知函数定义域为，则下面判断正确的是（）A.若，，则函数在上是增函数B.若，，则函数是奇函数C.若，，则函数是周期函数D.若且，，则函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减【答案】BC【解析】【分析】令可判断A，利用奇函数定义可判断B，由周期函数的定义可判断C，根据函数单调性的定义即可判断D.【详解】对于A，令，满足，但函数在上不是增函数，故选项A错误；对于B，令，则，可得，即满足，则函数是奇函数，可知B正确；对于C，若，， 所以，即，满足，可得函数是周期为的周期函数，即C正确；对于D，取，满足，因为函数在区间上单调递增，所以；可得，所以；即，可得且；所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，即D错误；故选：BC【点睛】方法点睛：在求解抽象函数奇偶性以及单调性时，要根据已知条件充分利用奇偶性和单调性定义，化简变形进行证明即可求得结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出一个同时具有下列性质①②的函数：_________.①是偶函数；②在上是增函数.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据所学函数图象与性质，可以考虑幂函数.【详解】，定义域为，关于原点对称，且，则是偶函数；由的图象可知在上是增函数；所以同时具有性质①②.故答案为：（答案不唯一，如）.14.若，，，则的最小值为__________.【答案】4 【解析】【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值为4.【详解】易知，当且仅当时，等号成立；即的最小值为4；故答案为：415.17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到边角关系，再通过二倍角公式转化求解，最后借助诱导公式得解.【详解】在等腰中，，则，由正弦定理得， 故，所以.故答案为：.16.设函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用换元法将方程转化为必有两根，画出函数图象由数形结合进行分类讨论即可求得实数的取值范围是.【详解】令，则，即，可得，作出函数的图象如下图所示：若方程有3个不等的实根，由图可知方程必有两根， 当时，可得，解得，不合题意；当时，需满足，解得，即.所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法将原方程转化为方程必有两根的问题，再利用函数与方程的思想由二次函数根的分布情况即可求得结果.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解指数不等式可得集合，再由集合混合运算即可得出结果；（2）由集合间的包含关系，利用可得.【小问1详解】由，易得，∵，∴，可得. 【小问2详解】由（1）知，∵，且∴，即实数的取值范围为.18.已知函数.（1）若，解不等式；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可作答.（2）根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列出不等式，求解不等式作答.【小问1详解】当时，，因此，解得，所以原不等式的解集为.【小问2详解】依题意，，，当时，，解得，不合题意，因此，二次函数值恒小于0，则，且，化简得：，解得或，于是得，所以实数的取值范围是.19.如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且 ，记，.（1）若，求点的坐标；（2）若点A的坐标为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标；（2）先由点在单位圆上求得，再利用三角函数定义与诱导公式求解.【小问1详解】∵，∴，，故点坐标为.【小问2详解】∵点在单位圆上，得，又∵点位于第一象限，，则，∴点A的坐标为，即，，∴，∴. 20.已知函数的图象过点和(1)求的解析式，并判断函数的奇偶性；(2)判断函数在的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】（1），偶函数；（2）函数在上单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，将两个点的坐标代入函数的解析式，可得关于的方程，可解得的值，即可得函数的解析式，据此分析可得其奇偶性，即可得答案；（2）根据题意，设，由作差法分析可得证明；【详解】解：（1）根据题意，函数的图象过点和，则，，解得，则，则，故函数为偶函数；（2）函数在上单调递减，证明：设，则，又由，则，，，则；故函数在上为减函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．21.一根长为L的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽. （1）设，试将L表示为的函数，并写出的取值范围；（2）求能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求L的最小值）.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得，，即可得，；（2）利用换元法令，并由函数单调性即可求得.【小问1详解】由题意知，，可得，，所以，.【小问2详解】令，∵，∴，，则，易知在上单调递增，在上单调递减 ∴，即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为.22.设函数，，.（1）求函数在上的单调区间；（2）若，，使成立，求实数的取值范围；（3）求证：函数在上仅有一个零点，并求（表示不超过最大整数，如，）参考数据：，，.【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是（2）（3）证明见解析，【解析】分析】（1）整体法求解函数单调性；（2）在上的值域为在上的值域的子集，求出的值域为，换元法结合二次函数对称轴，分与两种情况，得到不等式，求出答案；（3）先得到的单调性，结合零点存在性定理知在上有唯一零点，在上无零点，并得到，，得到.【小问1详解】∵，∴，由，解得，由，解得，∴函数在上的单调减区间是，单调增区间是.【小问2详解】 若，，使成立，则在上的值域为在上的值域的子集.由（1）知，在上单调递减∴的值域为，对于函数，令，∵，∴则，开口向上，对称轴是，，（i）当时，在上单调递减，不符合题意；（ii）当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，即，解得，综上，.【小问3详解】由（1）知在上是减函数，又在上是增函数，∴在上是减函数，又，，根据零点存在性定理知在上有唯一零点，当时，，，∴，在上无零点，综上，在上有且只有一个零点.∵， ∴，∴，∴.【点睛】思路点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；