四川省泸州市合江县马街中学校2024届高三上学期期末数学（理）试题 Word版含解析.docx

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马街中学高2021级高三上期期末考试理科数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则的虚部为(　　)A.1B.C.－1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则计算出z，然后找出虚部．【详解】，则虚部是，选C【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是先进行乘法运算将其化成形式，其中实部为,虚部为，属于简单题.2.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合间的关系及交集的定义分析判断.【详解】由题意可知：比如，即，对任意，则，∵，则，即，∴，且，B正确，D错误；又∵，令，解得，即，∴，且不是的子集，A、C错误；故选：B.3.已知，，则 A.7B.C.-7D.【答案】D【解析】【分析】依题意，可求得tanα的值，利用两角和的正切公式即可求得tan（α）的值．【详解】解：∵，sinα，∴cosα，∴tanα．∴tan（α）．故选D．【点睛】本题考查两角和与差的正切函数，考查同角三角函数间的基本关系，求得tanα的值是关键，属于基础题．4.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设公比为q，且q＞0，由题意可得关于q的式子，解得q，而所求的式子等于q2，计算可得．【详解】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0）由题意可得2＝+，即q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，故q2＝9．故选D．【点睛】本题考查等差中项的应用和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题． 5.已知平面向量的夹角为，且，则（　　）A.64B.36C.8D.6【答案】D【解析】【分析】根据向量运算的公式，直接计算出的值.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.6.已知正方形ABCD的边长为2，H是边AD的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求得相应的面积的数值，然后求解概率值即可.【详解】如图所示，以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，可拆为一个扇形与两个直角三角形，其中扇形的半径为，圆心角为，两个直角三角形都是直角边为1的等腰直角三角形，其面积为，正方形面积，概率为，故选A.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.7.设函数，则＝（　　）A.B.C.D.10【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分别求出，即可得出结果.【详解】根据题意，函数，，，则；故选B．【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.8.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（　　）A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sinx+acosx＝sinx+cosx＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误， 当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．9.设，有下面两个命题：，；：，，则下面命题中真命题是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出可行域得到两个命题均为真，可得到答案.【详解】根据不等式组，和命题pq表示的不等式画出可行域，根据题意得到满足不等式组的区域，均在，所表示的区域内；故p和q命题均为真命题.故为真，为假，其它选项均为假. 故答案为A.【点睛】这个题目考查了用区域来表示二次不等式所表示的范围，考查了命题真假的判断，以及或且非命题的真假判断；当两个命题均为真时，为真，当其中至少一个是真命题时为真命题.10.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A.3B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】先利用圆的方程和弦长判定为等边三角形，设出符合条件的一条直线，再利用平面向量共线得到点的坐标，再利用数量积的坐标运算进行求解.【详解】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，所以不妨设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴.故选：A． 11.已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为　　A.3B.C.D.4【答案】B【解析】【分析】设，利用三角形知识得到，转化成，令，将转化成，问题得解．【详解】设，由抛物线方程可得：抛物线的焦点坐标为，由抛物线定义得：又, 所以，当且仅当三点共线时（F点在PQ中间），等号成立，令，可化为：，当且仅当，即：时，等号成立．故选B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题．12.函数在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a的范围是A.{1}B.(－1，1)C.(0.1)D.{－1，1}【答案】A【解析】【分析】根据f′（x），结合结论，即进行放缩求解，求得实数a的取值范围．【详解】f′（x）=恒成立，即恒成立，由课本习题知：，即，只需要x，即(a-1)(x-1)恒成立，所以a＝1故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13若，则__________．【答案】-80【解析】【分析】根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，根据二项式展开式的公式得到结果即可.【详解】根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，由展开式的公式可得到含有 的展开项为.故答案为-80.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.若函数的定义域和值域都是，则______．【答案】【解析】【分析】对的范围分类，由函数的定义域和值域都是列方程即可求出，问题得解．【详解】当时，函数递增，又函数定义域和值域都是，则：，此不等式组无解．当时，函数递减，又函数的定义域和值域都是，则：，解得：，所以.【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性及对数运算知识，考查转化能力及计算能力，属于基础题．15.四边形中，，，，，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，在△ABC中，由余弦定理得AC2,由正弦定理得sinβ＝,在△BCD中，由余弦定理得BD2然后由正弦函数图像的性质可得最大值.【详解】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10﹣6cosα． 由正弦定理得，即sinβ＝,∵,，∴CD=在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos（900+β），即DB2＝9++2×3××＝-2cosα+2sinα＝+4sin（）∴当α＝时，对角线BD最大，最大值为，则的最大值为,故答案为【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的应用，考查正弦函数的性质，属于中档题.16.已知数列共16项，且，记关于x的函数，，若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为15，则满足条件的数列的个数_____.【答案】1176【解析】【分析】对求导，由题意可知,根据导数的几何意义，即可求得或，分类讨论,根据分类加法及分步乘法计数原理，即可求得满足条件的数列的个数.【详解】由可得，因为是函数的极值点， 所以所以即，，又，故七项中必有两项取1,五项取，即种方法，又曲线在点处的切线的斜率为，即，所以即，所以或，（或），故八项中必有两项取,六项取1，（这八项中必有六项取,两项取1），故满足条件的数列共有或种方法，所以方法总数为个故答案为：1176【点睛】关键点点睛：这道题关键是利用，根据和（或），得到每一项取值的可能，然后通过计数原理进行讨论三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得，由时，可得 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）得，再用裂项相消法求解即可．【小问1详解】解：∵，①当时，，∴当时，，②由①-②得：∴∴是以为首项，公比为的等比数列∴【小问2详解】解：由（1）得∴18.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面平行四边形，，,，为的中点，点在线段上.(1)求证：；(2)试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】 【分析】（1）先证明，，从而平面，然后可得；（2）以为原点，直线，，为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系设，然后求出平面的法向量为、平面的法向量为及的坐标，由已知得，即，化简可得的值，即可确定点的位置.【详解】(1)证明:　如图，在平行四边形中，连接，因为，，，由余弦定理得，，得，所以，所以，即.又，所以，因为，，所以，所以，又，所以平面，所以.(2)解:因为侧面底面，，所以底面，所以直线，，两两互相垂直，以为原点，直线，，为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，,，，，所以，，. 设，则，，所以，易得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由得，令，得.因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，解得，所以.即当时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.【点睛】本题第一问通过线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直，第二问主要通过建立空间直角坐标系并分别求出平面的法向量为、平面的法向量为及的坐标，把直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等的问题转化为的问题，综合性强，对运算能力要求高，属中等难度题.19.剑门关华侨城2018首届新春灯会在剑门关高铁站广场举行.在高铁站广场上有一排成直线型的4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率是，现将这4盏灯依次记为，，，.并令，设，当这些装饰灯闪烁一次时. （Ⅰ）求的概率.（Ⅱ）求的概率分布列及的数学期望.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式能求出的概率；（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4，而，由此能求出的概率分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）由题意得.（Ⅱ）的可能取值为0,1,2,3,4，而，∴的概率分布列为01234∴=.20.已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【详解】试题分析：（1）中线段的垂直平分线，所以 ，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线，直线与圆相切，可得直线方程与椭圆方程联立可得：，可得，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其即可解出的范围.试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，故点的轨迹方程式（2）设直线直线与圆相切联立所以或为所求.21.已知函数（其中，是自然对数的底数，）．（1）当时，求函数的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数，都有．【答案】（1）的极小值为，无极大值；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，讨论导数的符号，得到函数的单调性，可求出函数极值；（2）分类讨论，当时，讨论函数单调性可知不符合题意；当时恒成立；当时，由解之得，即可得结果；（3）由（2）知，当时恒成立，即亦即，令（）得，求和放缩得，即可证结论．小问1详解】当时，，则，当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，函数无极大值．【小问2详解】由，则，若，则，函数单调递增，当趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数存在唯一零点，当时；当时，故不满足条件；若，恒成立，满足条件；若，由，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，由得，解得．综上，满足恒成立时实数a的取值范围是．【小问3详解】由（2）知，当时，恒成立，所以恒成立，即，所以，令（），得，则，所以，则，所以．【点睛】关键点点睛：第三问，根据第二问结论得到，进而得到为关键.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中．（1）求的值；（2）若射线与直线相交于点，求的值．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）本小题先消参转化为普通方程，再普通方程化为极坐标方程，最后求解即可；（2）本小题先联立方程求，再利用的几何意义求解即可.【详解】（1）由题意知，曲线的普通方程为，∵，，∴曲线C的极坐标方程为即.∵，∴，∵，∴.（2）由题意，易知直线的普通方程为，∴直线的极坐标方程为.又射线的极坐标方程为（），联立方程得，解得.所以点的极坐标为，所以.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用，是中档题.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数，函数的定义域为R.（1）求实数的取值范围；（2）求解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）问题转化为：当时，不等式恒成立，根据绝对值的性质求出函数的最小值进行求解即可； （2）利用绝对值的性质把函数的解析式化成分段函数的形式，然后分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为函数的定义域为R，所以，当时恒成立，即当时，不等式恒成立，因此只需，因为，当且仅当时取等号，即时，取等号，所以，因此，所以实数的取值范围为；（2）.当时，；当时，，显然成立，所以；当时，，综上所述：不等式的解集为：【点睛】本题考查了已知函数的定义域求参数取值范围，考查了解绝对值不等式，考查了绝对值的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.