三角函数的概念2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修一.pptx

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三角函数的概念 新课程标准核心素养1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．数学建模2.理解三角函数的概念．数学抽象3.熟练掌握三角函数值在各象限的符号．直观想象4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．数学运算 Oxyr=1P风景区内有半径r=1的水车，为了让水车更加美观，需要进行装饰，遇到了这样一个问题：点p与o点在同一水平位置，随着水车逆时针旋转角α＝，点到中心水平线的高度h为多少？π6Pα＝、、任意角？3π47π6 1.初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？αOMPabc 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？xyOabMP﹒﹒ 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？xyM∽ 为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？yxoPM作单位圆与角的终边相交于P(a,b)以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆如果α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），sinα，cosα，tanα对应的值怎样？ yxo三角函数的定义对应关系，，都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数.注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。 说明(1).正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点的横坐标，正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.(2).正弦、余弦总有意义.当的终边在轴上时，点P的横坐标等于0，无意义，此时(3).由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.xyo的终边 设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离.那么①叫做的正弦，即②叫做的余弦，即③叫做的正弦，即任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关. 例1.求的正弦、余弦和正切值.﹒﹒解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为所以 例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得P0PMM0 几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα123233222213212310000-1-1100 1.角α的终边经过点P(0,b)则()A.sinα=0B.sinα=1C.sinα=-1D.sinα=±1D2.若角600o的终边上有一点(-4,a),则a的值是()600o的终边落在第三象限，∴a<0，60° 3.已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值．x=2a,y=-3ar===x2+y2(2a)2+(-3a)2a13当a<0时，sinα=,cosα=-,tanα=-313133221313当a>0时，sinα=-,cosα=tanα=-313132131332 4.已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．[解析]当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，()() 三角函数在各象限内的符号：yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）+--++--++--口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.” 例3确定下列三角函数值的符号：(1)(2)(3)(1)因为250°是第三象限角，所以cosα<0；解：(2)∵－672º=－2×360º+48º，∴tan(－672º)>0.π4(3)因为－是第四象限角，所以π4sin(－)<0 诱导公式探究根据三角函数的定义:终边相同的角的同一三角函数值是否相等？∵终边相同的角的集合为：终边相同点的坐标相同三角函数值相同 终边相同的角的三角函数关系终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到一组公式（公式一）：（其中）利用公式一，作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2π（或0°～360°)范围内的三角函数值. (1)cos390°=cos(360°+30°)=cos30°=32(2)7π4sin(－)=sin(－2π+)=sin=π4π422(3)tan(－675°)=tan(－2×360°+45°)=tan45°=1(4)tan3π=tan(2π+π)=tanπ=0 C2.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2)，且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是____________(-2,3]3a-9≤0a+2>0 归纳总结1.内容总结：①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.2.方法总结：运用了定义法、公式法、数形结合法解题.3.体现的数学思想：划归的思想，数形结合的思想.