四川省成都外国语学校2024届高三上学期期中数学(文) Word版含解析.docx

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成都外国语学校2023-2024学年度高三上期期中考试数学试卷(文科)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.本堂考试120分钟,满分150分.3.答题前,考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上,并用2B铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合目要求的,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.)1.已知集合,则()A.B.C.D.或【答案】B【解析】【分析】先求解一元二次不等式得到集合,再求出即可.【详解】,所以.故选:B.2.在复平面内,复数z对应的点的坐标为,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数的几何意义确定复数,再由复数乘法求.【详解】因为复数z对应的点的坐标为,所以,所以,故选:B. 3.已知函数则等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由分段函数概念,代入对应解析式求解即可.【详解】∵∴.故选:A.4.函数在区间的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性及的函数值,结合排除法可得出合适的选项.【详解】因为,,所以,即函数为偶函数,排除C,D;因为,所以排除B,故选:A.5.设,是两个不共线的向量,已知,,,若三点A,B,D共线,则的值为()A.-8B.8C.6D.-6 【答案】B【解析】【分析】根据三点A,B,D共线,可得存在唯一实数使,进而可得出答案.【详解】由已知得,三点A,B,D共线,存在唯一实数使,,,解得.故选:B.6.若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题,结合对数不等式即可求解.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件,所以Ü,所以,解得,故即实数的取值范围是.故选:C.7.设,若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出,结合角的范围求得,即可求得答案.【详解】由题意, 则,即,故,即,由于,所以,则,即,故,故选:B8.“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年(年是第一年)与捐赠的现金(万元)的对应数据,由此表中的数据得到了关于的线性回归方程,则预测年捐赠的现金大约是A.万元B.万元C.万元D.万元【答案】C【解析】【分析】由已知求出,代入回归直线的方程,求得,然后取,求得的值,即可得到答案.【详解】由已知得,,所以样本点的中心点的坐标为,代入,得,即,所以,取,得,预测2019年捐赠的现金大约是万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用,其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.9.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运,从而转变成公共资源的一系列活动,做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间(月)近似地满足关系(其中为正常数),经过5个月,这种垃圾的分解率为,经过10个月,这种垃圾的分解率为 ,那么这种垃圾完全分解大约需要经过()个月.(参考数据:)A.20B.27C.32D.40【答案】B【解析】【分析】根据和的两组值求出,再根据求出即可得解.【详解】依题意得,解得,,则,这种垃圾完全分解,即分解率为,即,所以,所以,所以.故选:B10.已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.B.直线是图象的一条对称轴C.图象的对称中心为D.将的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象【答案】C【解析】 【分析】对A,根据图最大值为3可得,再根据周期求得,再根据最高点判断可得,即可判断;对B,代入判断函数是否取最值即可;对C,根据正弦函数对称中心的公式求解即可;对D,根据三角函数图象平移性质判断即可.【详解】对A,由最大值为3可得,由图知,故,故,由图象最高点可得,即,又,故,故.故,故A错误;对B,,不为函数最值,故直线不是图象的一条对称轴,故B错误;对C,令,解得,故对称中心为,故C正确;对D,的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,故D错误;故选:C11.已知是边长为4的等边三角形,将它沿中线折起得四面体,使得此时,则四面体的外接球表面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得平面,将四面体转化为直三棱柱,四面体 的外接球即为直三棱柱的外接球,结合直三棱柱的性质求外接圆半径.【详解】因为为等边三角形,且为中线,则,即,且平面,可得平面,设的外接圆圆心为,半径为,因为,由余弦定理可得,且,则,所以,将四面体转化为直三棱柱,四面体的外接球即为直三棱柱的外接球,设四面体的外接球的球心为,半径为,则,则,所以四面体的外接球表面积为.故选:D.12.已知函数,若函数有5个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】通过分析得到当时,要有2个根,参变分离后构造函数,研究其单调性和极值,数形结合求出实数a的取值范围.【详解】与关于y轴对称,且, 要想有5个零点,则当时,要有2个根,结合对称性可知时也有2个零点,故满足有5个零点,当时,,不合题意;当时,此时令,定义域为,,令得:,,令得:,故在上单调递增,在上单调递减,且当时,恒成立,在处取得极大值,其中,故,此时与有两个交点.故选:C【点睛】对于求解函数零点个数问题,由以下的方法:(1)函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数;(2)参变分离后构造函数进行求解零点个数;(3)转化为两函数交点个数问题.第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.)13.若实数、满足线性约束条件,则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】令,作出不等式所表示的可行域,平移直线,找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解,代入目标函数即可得解. 【详解】令,作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域所示:联立,解得,即点,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最大,此时,取最大值,即.故答案为:.14.已知,则______.【答案】6【解析】【分析】利用诱导公式求得的值,然后在所求分式的分子和分母中同时除以,可将所求分式转化为只含的代数式,代值计算即可.【详解】由诱导公式可得,因此,.故答案为:6.15.已知定义在R上的函数及其导函数满足,若,则满足不等式的x的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由条件,构造函数,由得在 上单调递增,再利用单调性解不等式即可.【详解】由题意,对任意,都有成立,即.构造函数,则,所以函数在上单调递增.不等式即,即.因为,所以.故由,得.所以不等式的解集为,故答案为:.16.设函数(,),若是函数的零点,是函数的一条对称轴,在区间上单调,则的最大值是______.【答案】14【解析】【分析】根据正弦型函数的零点、对称轴,结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为是函数的零点,是函数的对称轴,所以,,解得,.因在区间上单调,则,得,所以.当时,,得,,即,,又,则,得. 当时,,其中,于是在区间上不单调.当时,,得,,即,,又,则,得.当时,,满足在区间上单调.综上,的最大值是14.故答案为:14【点睛】关键点睛:本题利用正弦型函数的单调性、对称性在求解时,检验区间是否单调是本题的关键.三、解答题17.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.(1)求的值;(2)若cosB,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【答案】(1)2(2)5【解析】【分析】(1)利用正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解;(2)由(1)利用正弦定理可得,利用同角三角函数基本关系式可求的值,结合三角形的面积公式可求,联立解得,的值,根据余弦定理可求的值,即可得解三角形的周长.【详解】(1)∵,∴sinBcosA﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣sinAcosB,sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB+2sinBcosC,可得sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA,∴2.(2)∵由(1)可得sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,① ∵cosB,△ABC的面积为,∴sinB,由acsinBac•,解得ac=2,②∴由①②可得a=1,c=2,∴由余弦定理可得b2,∴△ABC的周长a+b+c=1+2+2=5.【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式,考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.18.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查,得到如下列联表(平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖):常喝不常喝合计肥胖628不胖41822合计102030(1)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由;(2)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中4名男生2名女生),抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.02466357.87910.828(参考公式:,其中)【答案】(1)有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关,理由见解析;(2).【解析】【分析】(1)由已知数据利用公式求得的值,即可得到有 的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.(2)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为、、、,女生为,,得任取两人的基本事件的总数,利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】由已知数据可求得:,因此有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.【小问2详解】设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为、、、,女生为,,则任取两人有:,,,,,,,,,,,,,,,共种情况,其中一男一女有,,,,,,,,共8种,所以抽到一男一女的概率为.19.如图,是圆锥底面圆的圆心,是圆的直径,为直角三角形,是底面圆周上异于的任一点,是线段的中点,为母线上的一点,且.(1)证明:平面平面;(2)若,求三棱锥体积.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)由圆锥的性质可知,底面圆,再根据线面垂直的性质得出,由为直径得出,再根据中位线的性质得出最后利用面面垂直的判定定理,即可证明平面平面;(2)在上取点,使得,连接,结合题意可知,从而有平面 ,得出为三棱锥的高,最后利用等体积法和三棱锥的体积公式,即可求出三棱锥的体积.【小问1详解】证明:由圆锥的性质可知,底面圆,又底面圆上,所以,又因为在圆上,为直径,所以,又点分别为的中点,所以所以又,且平面,所以平面,又平面,所以平面平面.【小问2详解】解:由题可知,,则,如图,在上取点,使得,连接,由题知,所以,所以,又因为平面,所以平面,所以为三棱锥的高,又,所以,又因为为等腰直角三角形,所以,又,所以而, 所以三棱锥的体积为.20.已知椭圆过点两点,椭圆的离心率为,为坐标原点,且.(1)求椭圆方程;(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点,直线与y轴交于点M,直线与x轴交于点N,求证:四边形的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据离心率和可解得,可写出椭圆的方程;(2)设分别求出直线,的方程并解出的坐标,可得四边形的面积.【小问1详解】根据题意可知,又,即可得,结合,解得;即椭圆的方程为.【小问2详解】证明:由(1)可知,如下图所示: 设,且;易知直线的斜率,所以的直线方程为;同理直线的斜率,所以的直线方程为;由题意解得;所以可得,四边形的面积又,可得,故,即四边形的面积为定值.21.已知函数(1)当时,求的极值;(2)若对恒成立,求的取值范围.【答案】(1)有极小值无极大值;(2).【解析】【分析】(1)判断函数的单调性,利用求导,判断导函数与0的关系,问题得解决;(2)求恒成立,求参数的取值范围.设,求导,利用分类讨论的思想,问题得以解决.【详解】(1)若为减函数,,为增函数, 有极小值无极大值;(2)在恒成立,①若为增函数,即不成立;不成立.②在恒成立,不妨设或若则为增函数,(不合题意);若为增函数,(不合题意);若为减函数,(符合题意).综上所述,若时,恒成立,则.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立;(3)若恒成立,可转化为.22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(1)求的直角坐标方程和的直角坐标; (2)设与交于,两点,线段的中点为,求.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t的几何意义可得.【详解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2=1,设点P的直角坐标为(x,y),因为P的极坐标为(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以点P的直角坐标为(1,1).(2)将代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因为△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可设方程的两根为t1,t2,则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2,依题意,点M对应的参数为,所以|PM|=||.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.23.已知函数的最大值为4(其中).(1)求的值;(2)若,求的最小值.【答案】(1)3;(2).【解析】【分析】(1)根据绝对值三角不等式可求得m的值; (2)运用柯西不等式可求得最小值.【详解】解:(1).,又,所以m=3.(2).由(1)知,由柯西不等式有:,当且仅当时等号成立所以,,所以最小值为.

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