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东南中学2023-2024学年度高二年级第一学期第二次质量检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分。）1.焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，长轴长为10的椭圆的标准方程为( )A.x2100+y296=1B.x225+y221=1C.x296+y2100=1D.x221+y225=12.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线与直线x+y−1=0垂直，则a的值为( )A.−2B.−1C.1D.23.《九章算术》中的“竹九节”问：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A.6766升B.6566升C.6366升D.6166升4.已知空间向量a=(0,1,2)，b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )A.(−13,23,23)B.(−23,43,43)C.(−2,4,4)D.(−43,23,23)5.过圆C 1：x 2+y 2=1上的点P作圆C 2：(x−3)2+(y−4)2=4的切线，切点为Q，则切线段|PQ|长的最大值为 ( )A.23B.21C.42D.356.已知数列{an}满足an=(3−a)n−2,n⩽6an−5,n>6，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )A.(167,3)B.[167,3)C.(1,3)D.(2,3)7.已知函数f(x)=13x3−axlna在其定义域(0,+∞)内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是( )A.(0,1)∪(1,e2e)B.(0,1)C.(e2e,+∞)D.(1,e2e)8.瑞士数学家欧拉(Leonℎard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,2)，其欧拉线方程为2x−y−2=0，则顶点C的坐标是( )A.(185,165)B.(165,185)C.(3613,5013)D.(5013,3613)二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选2分，错选0分，共20分。）9.下列命题正确的有( )
A.已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=2，则limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx=2B.已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12C.若函数f(x)=−13x3+x2+1，则f(x)的极大值为1D.设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−9410.已知直线l:kx−y+2k=0和圆O:x2+y2=16，则( )A.直线l恒过定点2,0B.存在k使得直线l与直线l0:x−2y+2=0垂直C.直线l与圆O相交D.若k=−1，直线l被圆O截得的弦长为411.数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N∗)，则有( )A.Sn=3n−1B.Sn为等比数列C.an=2·3n−1D.an=1,n=1,2⋅3n−2,n⩾212.已知抛物线y2=mx(m>0)焦点与双曲线点x2−y23=1的一个焦点重合，点P2,y0在抛物线上，则( )A.双曲线的离心率为2B.双曲线的渐近线为y=±3xC.m=8D.点P到抛物线焦点的距离为6三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ．14.已知O(0,0,0)，A(−2,2,−2)，B(1,4,−6)，C(x,−8,8)，若O、A、B、C四点共面，则x= ．15.已知函数f(x)=e2x+f′(0)ln(x+4)，则f′(0)= ．16.在圆x2+y2=5x内，过点P(52,32)有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项为a1，最大弦长为an，若公差d∈[17,12]，那么n的取值集合为 ．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分。）17.(本小题10分)已知直线l：y=ax+3−a5．
(1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限．(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18.(本小题12分)已知函数f(x)=ax2−8lnx．(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=− 4x+m，求实数a，m的值；(2)当a=1时，求函数f(x)在区间1e,e上的最值．19.(本小题12分)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=−a5，a3=4．(1)求an的通项公式;(2)记Tn=a1+a2+⋯+an，求Tn．20.(本小题12分)已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，离心率为2，右顶点为(1,0)．(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过E(0,2)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM⋅EN的取值范围．21.(本小题12分)记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，等比数列bn的公比为q，已知a1=4，b1=2，a3=2b2+2，S9=18b3．(1)求an，bn的通项公式；(2)记cn=anbn，记cn的前n项和为Tn，求证：Tn<7．22.(本小题12分)已知函数，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=32，x>0时，证明：f(x)>0．
高二数学第二次质量检测答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，长轴长为10的椭圆的标准方程为( )A.x2100+y296=1B.x225+y221=1C.x296+y2100=1D.x221+y225=1【答案】B 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，考查计算能力，属于基础题．利用已知条件求解a，b，判断椭圆交点位置，求解椭圆方程即可．【解答】解：焦点为F1(−2,0)，F2(2,0)，长轴长为10，可知焦点在x轴，a=5，c=2，则b=a2−c2=21，所求的椭圆方程为：x225+y221=1．故答案选：B．2.已知函数f(x)=alnx+x2在x=1处的切线与直线x+y−1=0垂直，则a的值为( )A.−2B.−1C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】本题考查导数的几何意义及两直线垂直的条件，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得出a的值．【解答】解：函数f(x)=alnx+x2，求导得：f′(x)=2x+ax，因为fx在x=1处的切线与直线x+y+1=0垂直，所以f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=2+a=1，解得a=−1．故选B．3.《九章算术》中的“竹九节”问：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.6766升B.6566升C.6366升D.6166升【答案】A 【解析】【分析】本题考查等差数列的实际应用，等差数列的通项公式，属于基础题．根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d，利用方程思想求出a1和d，再利用通项公式进行求解．【解答】解：根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{an}，设其首项为a1，公差为d，由题意可得所以4a1+6d=33a1+21d=4，解得所以a5=a1+4d=1322+4×766=6766，即第5节竹子的容积为6766升．故选A．4.已知空间向量a=(0,1,2)，b=(−1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )A.(−13,23,23)B.(−23,43,43)C.(−2,4,4)D.(−43,23,23)【答案】B 【解析】【分析】本题考查空间向量的投影向量，属于基础题．利用投影向量的定义即可求解．【解答】解：由题意，得a⋅b=0×−1+1×2+2×2=6，b=−12+22+22=3则向量a在向量b上的投影向量是a⋅b|b|bb=2b3=(−23,43,43).5.过圆C 1：x 2+y 2=1上的点P作圆C 2：(x−3)2+(y−4)2=4的切线，切点为Q，则切线段|PQ|长的最大值为 ( )
A.23B.21C.42D.35【答案】C 【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．因为PQ=PC22−22，所以当点P到圆心C2距离最大时，切线段|PQ|最长，求出|PC2|的最大值，由此可得出答案．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1：(0,0)，半径为1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=4，圆心C2：(3,4)，半径为2，因为PQ=PC22−22，所以当点P到圆心C2距离最大时，切线段|PQ|最长，由于|PC2|max=|C1C2|+1=32+42+1 =6，此时|PQ|=62−22=42，即切线段|PQ|的最大值为42．故选C．6.已知数列{an}满足an=(3−a)n−2,n⩽6an−5,n>6，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )A.(167,3)B.[167,3)C.(1,3)D.(2,3)【答案】D 【解析】【分析】本题考查数列的单调性，属于基础题．由题意，得3−a>0a>1a7>a6，解不等式组即可．【解答】解：若{an}是递增数列，则3−a>0a>1a7>a6，即a<3a>1a2>6(3−a)−2,解得20，当x∈(e,+∞)，g′(x)<0，g(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，当x>e，g(x)>0，g(e)=2e，其图象如下：∴lna∈(0,2e)，∴10)焦点与双曲线点x2−y23=1的一个焦点重合，点P2,y0在抛物线上，则( )A.双曲线的离心率为2B.双曲线的渐近线为y=±3xC.m=8D.点P到抛物线焦点的距离为6【答案】AC 【解析】【分析】本题考查抛物线与双曲线的基本性质，考查运算求解能力，是基础题．由双曲线方程求得a，b，c的值，得双曲线的离心率判断A；求出双曲线的渐近线方程判断B；由抛物线与双曲线有共同焦点求得m值判断C；由抛物线焦半径公式求出点P到抛物线焦点的距离判断D．【解答】解：由双曲线方程可得a=1，b=3，c=2，离心率为e=ca=21=2，A正确；双曲线的渐近线为y=±3x，B错误；抛物线y2=mx(m>0)与x2−y23=1的一个焦点重合，可得m4=2，即m=8，C正确；由m=8，可得抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，则点P(2,y0)到抛物线的准线的距离为2−(−2)=4，到焦点的距离也为4，D错误．故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ．【答案】x+2y−8=0 【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，以及中点弦问题，属于基础题．设弦为AB，且Ax1,y1,Bx2,y2，代入椭圆方程，通过作差的方法，求得直线斜率k，由此可求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设弦为AB，AB的中点为(4,2)，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程得x1236+y129=1，x2236+y229=1，两式作差并化简得y2−y1x2−x1=−14·x1+x2y1+y2=−12，即弦的斜率为−12，由点斜式得y−2=−12x−4，化简得x+2y−8=0．故答案为x+2y−8=0．14.已知O(0,0,0)，A(−2,2,−2)，B(1,4,−6)，C(x,−8,8)，若O、A、B、C四点共面，则x= ．【答案】8 【解析】【分析】本题考查共线与共面向量定理及应用，考查分析与计算能力，属于基础题．因为O、A、B、C四点共面，则有(x,−8,8)=λ(−2,2,−2)+μ(1,4,−6)，得到不等式组，解出x即可得到答案．【解答】解：：由条件，得OA=(−2,2,−2)，OB=(1,4,−6)，OC=(x,−8,8)，因为O、A、B、C四点共面，则存在实数λ,μ，满足OC=λOA+μOB，则有(x,−8,8)=λ(−2,2,−2)+μ(1,4,−6)，即x=−2λ+μ−8=2λ+4μ8=−2λ−6μ，解得x=8，μ=0,λ=−4，故答案为8．15.已知函数f(x)=e2x+f′(0)ln(x+4)，则f′(0)= ．
【答案】83 【解析】【分析】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．根据导数的运算法则求解即可．【解答】解：∵f(x)=e2x+f′(0)ln(x+4)，∴f′(x)=2e2x+f′(0)⋅1x+4，∴f′(0)=2+14f′(0)，∴f′(0)=83．故答案为：83．16.在圆x2+y2=5x内，过点P(52,32)有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项为a1，最大弦长为an，若公差d∈[17,12]，那么n的取值集合为 ．【答案】{3,4,5,6,7,8} 【解析】【分析】本题考查了圆的方程，圆的几何性质及等差数列的通项公式等知识，属于中档题．先求出圆的圆心和半径，根据圆的几何性质计算出过点(52,32)的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n项，再根据等差数列的公差d∈[16,13]，求出n的取值集合．【解答】解：由x2+y2=5x，则x−522+y2=254，所以圆心52,0，半径r=52，故直径为圆的最长的弦，an=5，过P与直径垂直的弦为圆的最短弦，a1=4，由an=a1+(n−1)d，得5=4+(n−1)d，∴d=1n−1，由17≤1n−1≤12⇒3≤n≤8.四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)已知直线l：y=ax+3−a5．
(1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限．(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵y=ax+3−a5=ax−15+35，∴直线l恒过定点(15,35)．因为点(15,35)位于第一象限，所以直线l必经过第一象限．(2)如图，直线OA的斜率kOA=35−015−0=3．若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3．所以实数a的取值范围为[3,+∞)． 【解析】本题考查直线过定点和象限以及参数取值范围问题，属于较易题．(1)将条件中的直线表达式变形为y=ax+3−a5=ax−15+35，即可得证；(2)利用直线OA的斜率kOA=3，若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即可得．18.(本小题12分)已知函数f(x)=ax2−8lnx．(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=− 4x+m，求实数a，m的值；(2)当a=1时，求函数f(x)在区间1e,e上的最值．【答案】解：(1)∵f(x)= ax2−8lnx ，f′(x)=2ax−8x ， 由 ，可得a=2 ，又f(1)=a=2=−4+m ，所以 m=6 ．
(2)当a=1时， f(x)=x2−8lnx ，令 ，解得： x=−2 (舍去)或x=2，当 时， f′(x)<0 ， f(x)单调递减，当 时， f′(x)>0 ， f(x)单调递增，f(e)=e2−8 ， f1e=1e2+8>e2−8 ，∴函数f(x)在区间1e,e上的最小值f(2) =4−8ln2 ，最大值f(1e)=1e2+8． 【解析】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的最值，属于中档题．(1)求出导函数 f′(x) ，由 求得 a ，再由f(1)=a=−4+m求得 m ；(2)求出f′(x) ，判断函数f(x)的单调性，结合极值以及区间端点处的函数值比较可得最值．19.(本小题12分)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=−a5，a3=4．(1)求an的通项公式;(2)记Tn=a1+a2+⋯+an，求Tn．【答案】解：(1)Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=−a5，a3=4，设等差数列{an}的公差为d，可得9a1+9×82×d=−a1−4d，a1+2d=4，解得a1=8，d=−2，所以an=a1+(n−1)×(−2)=10−2n;(2)因为an=10−2n．可知a5=10−10=0，n>5时，an<0，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，当n≤5时，Tn=na1+n(n−1)2⋅d=9n−n2，当n>6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5−(a6+a7+…+an)=−Tn+2T5=n2−9n+40，Tn=9n−n2,n≤5n2−9n+40,n>5．
【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(1)利用已知条件求解数列的首项与公差，然后求解通项公式；(2)求出数列变符号的项，然后结合等差数列的求和公式转化求解即可．20.(本小题12分)已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，离心率为2，右顶点为(1,0)．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过E(0,2)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM⋅EN的取值范围．【答案】解：(1)由离心率 e=ca=2, 又 c2=a2+b2 ，所以 b2=3a2 ，又右顶点为 (1,0) ，所以 a2=1 ，所以 b2=3 ，故双曲线的标准方程为 x2−y23=1 ．(2)直线l的斜率显然存在，设直线 l 的方程为 y=kx+2 ，设 M(x1,y1),N(x2,y2) ，则由 x2−y23=1y=kx+2， 得 (3−k2)x2−4kx−7=0．因为直线与双曲线一支交于 M 、 N 两点，所以 3−k2≠0Δ=16k2+28(3−k2)>0x1x2=−73−k2>0 ，解得 31 ，所以 EM⋅EN= 7(1+4k2−3)>14 ，故 EM⋅EN∈(14,+∞) ． 【解析】本题考查双曲线的标准方程的求解，考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查双曲线中的范围的求解以及平面向量数量积的应用，属于中档题．(1)根据题意建立 a,b,c 的方程组即可求解;
(2)设直线 l 的方程为y=kx+2 ，设 M(x1,y1),N(x2,y2) ，在(3−k2)x2−4kx−7=0中利用韦达定理得到30，所以Tn<7． 【解析】本题考查等差数列和等比数列基本量问题，错位相减法，属于中档题．22.(本小题12分)已知函数，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=32，x>0时，证明：f(x)>0．【答案】【答案】解：(1)f′(x)=ex(x−1)−a(x−1)=(x−1)(ex−a)，当a≤0时，x>1，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x<1，f′(x)<0，f(x)单调递减．当01，或x0，f(x)单调递增；lnae时，x>lna，或x<1，f′(x)>0，f(x)单调递增； 11，或x0，f(x)单调递增；ln320，所以f(x)>0恒成立． 【解析】本题考查导数的运算，含参的分类讨论的思想及利用单调性求函数值域问题，属于中档题．(1)正确的求出导函数，并分解因式得到f′(x)=(x−1)(ex−a)，分类讨论的基本思想的成因在于，f′(x)=(x−1)(ex−a)=0有几个解？在多解的情况下那个大那个小？自然就得到了a的分类值；(2)利用(1)的结论得到函数的单调性，利用单调性得到f(x)的值域恒大于0即可，中间用到简单的放缩．
