吉林省白山市2024届高三上学期第一次模拟数学Word版含解析.docx

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2024年白山市第一次高三模拟考试数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.复数，则的虚部为（）A.B.C.2D.3.已知，，若在向量上的投影为，则向量（）A.B.C.D.4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）A.300B.432C.600D.8645.“”是“方程有唯一实根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立.则函数的最小值为（）A.16B.25C.36D.497.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（） A.直线与是异面直线B.平面平面C.该几何体的体积为D.平面与平面间的距离为8.不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点，关于对称，线段的中点的坐标为.若，则的离心率为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为，平均数为，方差为.若7个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为，方差为，则（）A.一定大于B.可能等于C.一定大于D.可能等于10.公差不为零的等差数列满足，，则（）A.B.C.D.11.已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）A.B.为其一个对称中心 C.若在单调递增，则D.曲线与直线有7个交点12.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，若为的准线上任意一点，则（）A.直线若的斜率为，则B.的取值范围为C.D.的余弦有最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简____________.14.已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_______.15.在四面体中，，，且满足，，.若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为___________.16.已知函数的定义域为，且，，请写出满足条件的一个__________（答案不唯一），_________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，其前项和记为，求.18.（12分）在中，角，，的对边分别为，，.已知.（1）求角；（2）过作，交线段于，且，求角.19.（12分）如图所示，在矩形中，，，，为的中点，以为折痕将向上折至为直二面角. （1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐角的余弦值.20.（12分）俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为.（1）求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；（2）求张老师当天穿西装的概率.21.（12分）已知，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于、的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为.（1）求双曲线的方程；（2）设过的直线与双曲线交于，两点（，不与，重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.22.（12分）已知函数（为常数），函数.（1）若函数有两个零点，求实数的取值的范围；（2）当，设函数，若在上有零点，求的最小值. 2024年第一次高三模拟考试数学监测试卷答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.答案：B【详解】∵，，∴；故选B2.答案：D【详解】∵，∴的虚部为；故选D.3.答案：D【详解】∵；故选D4.答案：B【详解】总的方法数为；故选B5.答案：A【详解】方程有唯一解，即直线与上半圆有且仅有一个交点，解得的取值范围为，∴是方程有唯一解的充分不必要条件；故选A.6.答案：D【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为49.7.答案：D【详解】∵，，，四点共面，直线与是共面的；∴A错取中点，连接、，则为二面角的平面角，其余弦值为；B错；∴C错连接、设交于，则为正三棱锥，其底边长为2，侧棱长为，所以到平面的距离，所求平面与平面间的距离为；D正确 8.答案：C【详解】设为坐标原点，在椭圆中，，又，∴即，又，∴，所以所求离心率为；故选C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）9.答案：BC【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所以方差变小.10.答案：AD【详解】由得，，根据等差数列性质知，又，∴由，得，∴所以；故选：AD.11.答案：ACD【详解】由题意，故，又的图象向左平移个单位得到，所以，且，故，所以A正确；因为，且，所以B不正确；令，，故易知在单调递增，故，C正确；直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，当时，，当时，，由对称性可知曲线与直线 有7个交点，故D正确.故选：ABD.12.答案：BCD【详解】对于A选项，设的倾斜角为，则；故A错对于B选项，∵以为直径的圆与准线相切，点在以为直径的圆上或圆外，∴，当在直线上时，∴；故B正确对于C选项，设，，，设，联立，易得，∴，故C正确对于D选项，又，∴；故D正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案：2【详解】.14.答案：【详解】∵，解得，常数项为.15.答案：【详解】将四面体放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为，和4，所以四面体外接球的直径为6，体积为. 16.答案：；【详解】令，则，解得或，若，令，，则，即与已知矛盾∴，令，则，∴为偶函数令，则，可推出，以6为周期结合以上特征，找到满足条件的一个函数为，结合以6为周期，则.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）设等比数列的公比为，由已知，得（*）易观察，2是（*）方程的一个根，∴∴又，∴.（2）由（1）知，∴（1）（2）（1）-（2）得，∴18.解：（1）由正弦定理得：.∵，∴ ∴∴，又，∴，又为三角形内角，∴.（2）因为在边上，且，所以.因为，所以，所以.在中，，，∴.19.（1）证明：由已知，且为线段的中点，∴又平面平面，且平面平面，平面∴平面，又平面，∴.（2）设为线段上靠近的三等分点，为的中点，由已知，又平面∴，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系∵，，∴，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即不妨令，则 同理，平面的法向量，所以平面与平面所成的锐角的余弦值为.20.解：（1）随机变量的取值为0，1，所以的分布列为：01.（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装.根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，则当天穿西装的概率为.所以张老师当天穿西装的概率为.21.解：（1）设，，，∵，∴，∴，又∵焦距为，可得，则，结合，∴，， ∴双曲线的标准方程为：.（2）证明：由（1）知，，设，.因为，不与，重合，所以可设直线.与联立：，消去整理可得：，故，，，，，∴.22.解：（Ⅰ），①时，，则在上单调递增，至多有一个零点.②时，令得，则在上单调递增；令得，则在上单调递减；若有2个零点，则需满足，则，又，且，令，则，令，得，故在上单调递增；令，得，故在上单调递减；∴，则，即， 则.故在上有唯一零点，在上有唯一零点，符合题意所以为所求.（2）设函数在上的零点为，则所以在直线上，设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方所以又，∴，令，则，∴在上单调递减，即所以的最小值为，