吉林省白山市抚松县第一中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（解析Word版）

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抚松一中高三年级第一次模拟考试数学试卷时间120分钟满分150分一、单选题（5分*12=60分）1.设全集为，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，写出，则可写出.【详解】因为，所以，所以.故选：B.2.某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：℃，）近似满足函数模型．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：）（）A.14.4B.14.6C.14.8D.15.1【答案】C【解析】【分析】根据题意，当时，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，当时，可得．故选：C.3.“a＞2”是“函数在上是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

1【分析】根据函数的单调性结合充分不必要条件的定义求解.【详解】解：若a＞2，则的增区间是，且，所以函数在上是增函数，故充分性成立．当a＝2时，在上是增函数，故必要性不成立．故“a＞2”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件.故选:A．4.设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（）A.=|x|B.≥C.>D.>【答案】D【解析】【详解】分析：表示不超过的最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设，，，，，排除A、B，设，，，排除C．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．5.设，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数性质得，从而，由对数换底公式和对数运算法则计算得，再由不等式性质可得结论．【详解】因为，，所以，所以，，即，所以.故选：D．6.函数的图象大致是（）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

2A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先把化为，利用为奇函数可排除C，再结合函数值的符号可排除AD，从而可得正确的选项．【详解】，令，则，故为上的奇函数，故的图象关于对称，故排除C.又当时，令，则，故，故当时，，故排除D.而，故排除A，故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数解析式判断函数图象时，往往需要根据函数的奇偶性、单调性等来判断图象的性质，有时也需要根据函数值的正负来判断．7.若函数，给出下面结论：①为奇函数，②时有极大值，③在单调递减，④．其中正确的结论个数（）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

3A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由奇函数的定义即可判断①；求导得出时的单调性，进而得出极值即可判断②；直接由导数得出在上的单调性即可判断③；利用单调性比较函数值大小即可判断④.【详解】易得定义域为，对于①，，则为奇函数，①正确；对于②，当时，，，当时，，单增，当时，，单减，则时，有极大值，②正确；对于③，当时，，，单增，③错误；对于④，由上知，在单调递增，则，又，则，④正确.则正确的结论有3个.故选：D.8.下列命题正确的个数是（）①命题“”的否定形式是“”；②函数的单调递增区间是；③函数是上的增函数，则实数的取值范围为；④函数的零点所在的区间，且函数只有一个零点.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】对于①，特称命题否定为全称命题即可，对于②，先求函数的定义域，再利用换元法求解，对于③，每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，对于④，利用零点存在性定理判断.【详解】对于①，命题“”的否定形式是“”，所以①正确，对于②，由，得，令，则，因为在第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

4上递增，在上递减，在定义域内递减，所以在上递减，在上递增，所以②错误，对于③，因为是上的增函数，所以，解得，所以③错误，对于④，因为和在上递减，所以在上递减，因为，所以函数只有一个零点且在上，所以④正确，故选：B9.若直线是曲线的切线，也是的切线，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值.【详解】设直线与和的切点分别为，，则切线方程分别为，，，化简得，依题意上述两直线与是同一条直线，所以，，解得，所以．第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

5故选：C．10.若对，．有，则函数在，上的最大值和最小值的和为（）A.4B.8C.6D.12【答案】B【解析】【分析】根据原抽象函数的关系，通过合理赋值得到，设具有奇函数性质的新函数，再证明为奇函数，根据奇函数＋奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇函数性质得，再利用函数图像的平移得到最终最值和为8.【详解】解：，．有，取，则，故，取，则，故，令，则，故为奇函数，，设，则，，故为奇函数，故为奇函数，故函数在上的最大值和最小值的和是0，而是将函数的图像向上平移4个单位，即在上最大值和最小值均增加4，故函数在上最大值和最小值的和是8，故选：B．【点睛】本题充分考察了抽象函数的奇偶性与对称性，我们需要构造新函数使其具有奇偶性，然后再利用平移的特点，得到最终最值之和.11.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】函数定义域是，，，设第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

6，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．故选A．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．12.已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数研究的单调性和最值，画出函数图像，数形结合，即可求得.【详解】因为，故可得，令，解得或，故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.且，当趋近于正无穷时，趋近于零.故其函数图像如下所示：第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

7令，故关于的方程，即为解得或.当时，没有实数根；故要满足题意，只需有三个实数根即可数形结合可知，只需，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值，涉及方程与函数之间的相互转化，属综合中档题.二、填空题（5分*4=20分）13.已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可【详解】命题p：恒成立，若p是真命题，则：，命题q：，使得成立，若命题q为真命题，则.所以命题q是假命题时，，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

8综上，参数a的取值范围为：，即故答案为：14.已知，，且，则的最小值为__．【答案】3【解析】【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．【详解】解：因为，，且，所以，则，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值．故答案为：．15.已知偶函数的导函数为，且满足.当时，，则使得成立的x的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】令，利用导数以及当时，，可得在上为减函数，再根据等价于，利用在上为减函数，可解得结果.【详解】令，则，，所以当时，，所以在上为减函数，因为为偶函数，所以，所以，所以为偶函数，因为，所以，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

9所以当时，等价于等价于所以，又在上为减函数，所以，解得，又，所以或.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.16.已知函数满足，当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案【详解】函数满足，当，所以当，故，，画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数有三个不同零点，则直线应在图中的两条虚线之间，上方的虚线为直线与相切时，下方的虚线是直线经过点时，当直线与相切时，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

10，设切点为，则斜率，此时，当直线经过点时，，故答案为：三、解答题17.(1)；(2)．【答案】(1)2；(2)4.【解析】【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；(2)根据对数的运算求解即可.【详解】解:(1)原式．(2)原式．18.已知函数（且）为定义在上的奇函数.（1）利用单调性的定义证明函数在上单调递增；（2）求不等式的解集.（3）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明过程见解析；（2）（3）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

11【解析】【分析】（1）根据求出，求出，利用函数定义法判断函数的单调性；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式；（3）参变分离为有根问题，求出的值域，从而求出，求出实数的取值范围.【小问1详解】由题意得：，解得：，，任取，且，则因，且，所以，，所以，故所以函数在上单调递增；【小问2详解】，即，因为为定义在上的奇函数，所以，因为为定义在上单调递增，所以，解得：或，所以解集为：；【小问3详解】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

12有零点，当时，，没有零点，不合题意，舍去；当时，即有根，其中当时，，，，故，又因为在R上为奇函数，所以当时，，且，所以在R上的值域为，故，解得：，所以实数的取值范围为.19.已知函数在处取得极大值为2．（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；（2）利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数在上的最值，对于区间上任意两个自变量的值都有，则，从而可得出答案.【小问1详解】解：，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

13因为函数在处取得极大值为2，所以，解得，经检验符合题意，所以；【小问2详解】解：，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递减，又，所以当时，，对于区间上任意两个自变量的值都有，则，所以，所以实数的最小值为4．20.已知函数（为自然对数的底数）．（1）讨论的单调性；（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数值正负即可作答.（2）将给定的不等式等价变形，构造函数并借助导数结合函数单调性求解作答.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得：，若，则，即在上是增函数；若，由得，由得，即函数在上递减，在上递增，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

14所以当时，函数在上是增函数；当时，函数递减区间是，递增区间是.【小问2详解】当时，，，令，依题意，当时，恒成立，即函数在上单调递增，因此，，即恒成立，令，求导得：，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则，即，所以实数的取值范围为.21.已知函数，，过原点的直线与曲线相切，也与曲线相切.（1）求a；（2）设有两个极值点，.（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线l与曲线切于点，得到l的方程为，再与联立，由求解；（2）（ⅰ）求导，由函数有两个极值点，，转化为，是方程的两个不等正实根求解；（ⅱ）由（ⅰ）易得，设，利用导数法证明.【小问1详解】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

15解：设过原点的直线l与曲线切于点，，则l的方程为，由l过原点知，解得，故.由，得，又l与相切，故，从而解得.【小问2详解】（ⅰ），，由函数有两个极值点，知：，是方程的两个不等正实根，则，解得.（ⅱ），，，，，设，由，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

16在上单减.所以，综上，.22.有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．（1）函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点；（2）设，，且，若，则．其中为自然对数的底，【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据给定条件构造函数，再判断方程有唯一解即可得解.（2）由结合（1）中函数，再构造函数，借助函数单调性即可判断作答【小问1详解】设(x>0)，求导得：，则当时，，当时，，即在上递增，在上递减，因此，当时，，当且仅当x=e时取“=”，于是得方程有唯一的零点，即方程有唯一的零点，所以，函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点，猜想（1）正确.【小问2详解】，由（1）知方程在内有两个根，分别在区间和内，如图，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司

17因，，且，由得，则，是方程的两个根，不妨设，，设(x>1)，，当时，，，则当时，，在上递增，由此得，当时，，从而得，而，因此，，显然，又，且在递减，则，即，所以，猜想（2）正确.【点睛】解决极值点偏移问题的关键是构造合理的新函数，结合原函数、新函数的单调性进行说理.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司