吉林省白山市2021届高三上学期期末考试数学Word版含答案

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2020～2021学年白山市高三上学期期末考试数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：必修1～5，选修2-1，2-2，2-3．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）．A．B．C．D．2．复数在复平面内对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线的渐近线方程为（）．A．B．C．D．4．若，则（）．A．B．C．D．5．已知向量，，若，则（）．A．8B．12C．D．6．函数的零点所在的区间为（）．A．B．C．D．7．已知，满足约束条件，则的最大值是（）．A．4B．10C．8D．6

18．函数的图象大致为（）．A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为号，则中应填写（）．A．B．C．D．10．函数，其图象相邻两条对称轴间的距离为，将其图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则下列点是图象的对称中心的是（）．A．B．C．D．11．有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6．随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为（）．A．B．C．D．12．如图，在四面体中，，，，的重心为，则（）．

2A．2B．C．D．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知函数，则______．14．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是______．15．的展开式中的常数项为______．16．已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．18．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．19．（12分）我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风投公司准备投资芯片领域．若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为％的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为％的概率为，收益率为零的概率为．（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你为该风投公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若该风投公司准备对以上你认为比较合理的的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：年份20162017201820191234

3累计投资金额（单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0．75亿元．附：收益＝投入的资金×获利期望；线性回归方程中，，．20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是边长为2的正三角形，，点为线段的中点，点是上的点．（1）当为中点时，证明：平面平面．（2）当时，求二面角的余弦值．21．（12分）已知函数．（1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知抛物线的焦点为，圆，，分别是抛物线和圆上的动点，当点在第一象限且轴时，的最大值为4．（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线交抛物线于，两点，且直线，设直线与抛物线的另一个交点为，求的最小值．2020～2021学年白山市上学期期末考试高三数学试卷参考答案（理科）1．D

4因为，，所以．2．C，其在复平面内对应的点位于第三象限．3．A因为，所以，故双曲线的渐近线方程为．4．B．5．C因为，所以，，所以，故．6．B易知是上的减函数，且，，所以函数的零点所在的区间为．7．D作出可行域（图略），当直线经过点时，取得最大值，最大值为6．8．A∵，∴为奇函数．∵，∴在定义域内为减函数，故选A．9．B应该填入．，；，；，，；．退出循环，输出的的值为，满足题意．10．D

5因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以，所以．因为的图象向右平移个单位长度后得到曲线，其图象关于轴对称，所以，，即，．因为，所以，故．令，，得，．当时，，所以点是图象的一个对称中心．11．A若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，则所求概率为．12．C如图，将四面体还原到长方体中，易知四面的棱是长方体的面对角线，则．连接交于，连接，则为边的中线，的重心为靠近的三等分点．把长方体的对角面单独画出，如图，记为和的交点．

6因为∽，且，所以为靠近的三等分点，即重心与点重合，故．13．1．14．（或），，令，解得或（舍去），所以切点的坐标为．故直线的方程为，即．15．展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为．16．设，，则，两式相减，得．因为直线的斜率为，线段的中点为，所以，得．因为，所以，故的面积为．17．解：（1）∵，∴，∴．

7∵，∴，故．（2）∵的面积为，∴．∵，∴，．∵，∴，即．故的周长为．18．解：（1）由题意知，，，因为，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即．（2）因为，所以，则．又，所以．19．解：（1）若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为所以．若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为0

8所以．因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以，所以．因为，，所以，，这说明虽然光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．（2），，，，则，，故线性回归方程为．设该公司在芯片领域的投资收益为，则，解得，故在2020年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过亿元．20．（1）证明：取的中点，连接，．∵点为的中点，∴且．

9∵为的中点，∴．∵四边形是正方形，∴且，∴四边形为平行四边形，∴．∵且，，∴平面，∴．∵为等边三角形，∴．∵，∴平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）解：取的中点，的中点，连接和，则且．由（1）知，平面，∴平面，∴且．以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，则，令，则．

10取平面的一个法向量，则．由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．21．解：（1）．令，得;令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值．（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以．设，易知在上单调递增．因为，，所以存在，使得，即．当时，，在上单调递减;当时，，在上单调递增．所以，从而，故的取值范围为．22．解：（1）当点在第一象限且轴时，点的坐标为．因为圆的圆心为，半径，

11所以，所以，解得或（舍去），故抛物线的方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，由可得．设，，则，．因为直线，所以直线的斜率为．设，，同理可得，．故，当且仅当，即时，取得最小值16．

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