海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学Word版含解析.docx

《海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第三次月考数学Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

海南中学2024届高三年级第3次月考数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（　　）A.（-3，2]B.[-3，2）C.（2，3]D.[2，3）2.已知为虚数单位，且复数满足，则（）A.1B.2C.D.3.已知点是所在平面内的一点，且，设，则（）A.B.C.3D.4.我国古代学者庄子在庄子天下篇中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过寸尺寸，则的最小值是（）A.B.C.D.5.在等差数列中，，其前项和为，且，则的值等于（）A.B.C.2023D.20246.已知，，则（）AB.4C.D.7.若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是(　　)A.B.C.D.8.已知在中，角的对边分别为，，点Q在边BC上，且满足 （），，则的最小值是（）A.32B.36C.72D.80二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，是真命题的是（）A.一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同B.有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30C.若随机变量，则其数学期望D.若随机变量，，则10.已知等差数列的前n项和为，，，则（）A.数列是递减数列B.C.时，n最大值是18D.11.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A.B.的取值范围是C.若为边上中点，且，则的最小值为D.若面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（）A.B.C.D.第二部分非选择题（共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数则f(14)=_____14.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则_____15.已知向量，，，则向量与的夹角为__________．16.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则_______，____________.四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，，求的值．18.设为数列的前项和．已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．19.为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率. 20.如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求面积；（2）若，，求．21.已知等比数列是递增数列，且，.（1）求通项公式；（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围.22.已知函数.（1）当时，讨论函数单调性；（2）若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数). 海南中学2024届高三年级第3次月考数学试题卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（　　）A.（-3，2]B.[-3，2）C.（2，3]D.[2，3）【答案】D【解析】【分析】分别求得集合，，再结合集合的交集和补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，则，又由，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记对数的运算性质正确求解集合，再根据集合的交集、并集和补集的运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，且复数满足，则（）A.1B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】由题，则. 故选：D3.已知点是所在平面内的一点，且，设，则（）A.B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】由，可得为的中点，由图形结合平面向量基本定理用将表示出来，再结合，可求出的值，从而可求得答案【详解】由题意作图，因为，所以为的中点，所以，因为，所以由平面向量基本定理可得，所以，故选：D4.我国古代学者庄子在庄子天下篇中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一指长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过寸尺寸，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出不等式，结合指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由题意知，田后剩下的弦长长度为，则，即， 因为，所以，即的最小值是.故选：C.5.在等差数列中，，其前项和为，且，则的值等于（）A.B.C.2023D.2024【答案】B【解析】【分析】先设等差数列的公差为，根据等差数列前项和的性质，得到也是等差数列，由题意，求出，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，，所以数列是等差数列，公差为，又，则，即，又，所以，，解得.故选：B.6.已知，，则（）A.B.4C.D.【答案】C【解析】【分析】利用和角的正弦公式、正切公式，结合同角公式求解即得.【详解】由，得，两边除以，得，即有，又，因此， 所以.故选：C7.若函数在区间内有极值点，则实数取值范围是(　　)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解.【详解】解：函数，，若函数在区间上有极值点，则在区间内有零点，由可得，因为在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以，，当时，，不符合题意，所以实数的取值范围是.故选：C．8.已知在中，角的对边分别为，，点Q在边BC上，且满足 （），，则的最小值是（）A.32B.36C.72D.80【答案】B【解析】【分析】根据向量关系，可得平分角，利用三角形面积公式求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】向量分别是与向量同向的单位向量，由（），得是的内角的平分线，则，而，于是，化简得，即，所以，当且仅当，时取等号，所以当，时，取得最小值36.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，是真命题的是（）A.一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同B.有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30C.若随机变量，则其数学期望D.若随机变量，，则【答案】ACD【解析】【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率.【详解】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3， 将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确；B选项：样本的容量为，故B错误；C选项：由，故C正确；D选项：，故D正确.故选：ACD.10.已知等差数列的前n项和为，，，则（）A.数列是递减数列B.C.时，n的最大值是18D.【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得、，结合通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，因为，所以.A：由，可得所以等差数列为递增数列，故A错误；B：，故B正确；C：，由可得，所以，又，所以n的最大值是18，故C正确；D：，，由，得，故D错误.故选：BC. 11.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A.B.的取值范围是C.若为边上中点，且，则的最小值为D.若面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数恒等变换化简已知式可判定A，根据三角恒等变换及正弦函数性质求解范围可判定B，由余弦定理、平面向量的线性运算及基本不等式可判定C，由基本不等式及余弦定理可判定D.【详解】对于A项，由得，即，因为，则，若显然不符题意，或者也不符合题意，所以，即，所以，故A正确；对于B项，，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是，故B错误；对于C项，由余弦定理知，又为边上中点，所以，所以，所以，所以， 当且仅当时，取得等号，所以，所以，故C正确；对于D项，不妨设三边上的高分别，则，又，所以，所以，根据余弦定理知，所以，当且仅当时，取得等号，故D正确故选：ACD12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，进而可得为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得．【详解】因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，故，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，，所以，对选项A：由，令得，，所以，故A正确；对选项B：由，令得，，故，所以B正确； 对选项C：由，可得，又，所以，又是奇函数，，所以，又，所以，即，所以，，，所以函数为周期为4的偶函数，所以，故C正确；对选项D：，由题得不出，所以不一定成立，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解.第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数则f(14)=_____【答案】【解析】【分析】根据分段函数，由求解.【详解】解：因为函数，所以，故答案： 14.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则_____【答案】【解析】【分析】利用三角函数平移变换求出，然后根据奇偶性求出参数的值.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得，因为为偶函数，即为对称轴，所以，化简得，因，所以.故答案为：15.已知向量，，，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】根据已知，利用向量的模长、夹角公式、向量的坐标表示以及向量的运算律计算求解.【详解】因为，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以，又，所以向量与的夹角为，因为向量与的夹角范围为：， 所以向量与的夹角为.故答案为：.16.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则_______，____________.【答案】①.②.【解析】【分析】对函数求导，结合已知得，进而求得，根据等比数列定义及前项和求、，最后求即可.【详解】因为，则，则，又，所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，即，因为，即，解得.故答案为：；.四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，，求的值．【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由降幂公式化简即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的单调区间，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，再由余弦和差角公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意得：，由，可得；所以的单调递增区间是.【小问2详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴． 18.设为数列的前项和．已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，可求得的表达式，再利用裂项相消法可求得.【小问1详解】证明：已知①，当时，②，①②得：，即，所以，，当时，则，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列．【小问2详解】解：由（1）可知，，则，所以，，所以，， .19.为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解；（2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解.【小问1详解】记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，所以，，所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为和.【小问2详解】有0名同学回答正确的概率，有1名同学回答正确的概率，所以不少于2名同学回答正确这道题的概率.20.如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求的面积；（2）若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求出结果；（2）在和中，利用正弦定理，建立等量关系和，从而得到，再化简即可得出结果.【小问1详解】因为，，，由余弦定理得，所以，即，解得，所以．【小问2详解】设，在中，由正弦定理得，所以①，在中，，， 则，即②由①②得：，即，∴，整理得，所以．21.已知等比数列是递增数列，且，.（1）求通项公式；（2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数列，得出，即可得出答案；（2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减法得出，则，令，则数列 为递减数列，即可结合已知列不等式得出答案.【小问1详解】设的公比为，由，得：，解得或，因为是递增数列，所以，则，所以.【小问2详解】在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，设其公差为，此数列首项为，末项为，则，，则又,则,则，则，令，则数列为递减数列，由对恒成立， 则当为偶数时，对恒成立，则；当为奇数时，对恒成立，则，即，综上实数的取值范围为.22.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）由题意，，是方程的两个根，即可得到，令则，则，只需证明当时，不等式成立即可.【小问1详解】函数的定义域为，则，当时令，解得或，当，即时恒成立，所以在上单调递增；当即时，令，解得或，则在，上单调递增，令，解得，则在上单调递减； 当即时，令，解得或，则在，上单调递增，令，解得，则在上单调递减；综上可得，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】因为，由题意，是方程的两个根，①，②，①②两式相加，得③，①②两式相减，得④，联立③④，得，，设，，，，，因为，所以，则，若，则一定有，只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，即不等式成立， 设函数，，在上单调递增，故时，，即证得成立，即证得当时，，即证得，，即证得，则．【点睛】思路点睛：本题第二问是导数应用中的函数零点，双变量问题.根据函数零点的定义可得，，两式相加，相减运算可得，，即得，令，即，又易证，只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，构造函数，用导数证明即可.