甘肃省张掖市高台县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学题 Word版含解析.docx

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2023年春学期高二年级三月月考数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.函数在区间上的平均变化率为（）A.2B.3C.5D.4【答案】C【解析】【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.【详解】当时，；当时，.所以函数在区间上的平均变化率为.故选：C2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.【详解】.故选：B.3.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】利用导数法求解.【详解】因为，所以，当时，，所以函数的单调递减区间为，故选：B4.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，然后令，可求出，从而可求出的解析式，进而可求出【详解】由，得，令，则，解得，所以，所以，故选：D5.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义即可求解﹒【详解】 ∴在(0，1)处切线方程为：，即﹒故选：A﹒6.函数的大致图像为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.【详解】因函数，定义域为，又，所以偶函数，故B错误；由得，，同理，由得，或，故C错误；因为，，所以，故D错误；因为函数，定义域为，且当时，，，由有，，同理，由，解得， 所以当时，在单调递增，在上单调递减，又，所以A正确.故选：A.7.当时，函数取得最大值，则（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.8.函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.【详解】由得，则当或，，单调递增；，，单调递减.在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得.故实数a的取值范围是.故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列函数求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.【详解】A：，错误；B：，正确；C：，正确；D：，正确．故选：BCD10.定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减B.C.函数在x＝5处取得极小值 D.函数存在最小值【答案】ACD【解析】【分析】借助导数图像的正负性即可分析原函数的单调性.【详解】在恒成立，则在上单调递减，故A正确；在恒成立，则在上单调递增，则，故B错误；上，上,则函数在x＝5处取得极小值，故C正确;由导数图可知在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，故在两个极小值和中产生，故存在最小值，故D正确;故选：ACD.11.对于函数，下列说法正确的有（）．A.在处取得极大值B.有两不同零点C.D.若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于B，令，则可得函数的零点；对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可 【详解】函数的导数，，令得，则当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，，由时，函数为减函数知，故成立，故正确，若在上恒成立，则，设，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，即当时，函数取得极大值同时也是最大值，成立，故正确.故选：ACD．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．12.已知，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x与y的关系，再根据函数的性质逐项分析.【详解】因为，即．令，则有， 则，令，则，令，可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，所以总有，故单调递减；所以，即；对于A，，故A错误；对于B，设，则，故在上单调递增，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C，，即．设，则，则，所以单调递增．因为，所以，故C正确；对于D，，即，令，则，因为，所以为偶函数，所以即为．则，令，则，所以单调递增．又，所以当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，当时，，故D错误； 故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的极小值为______.【答案】##【解析】【分析】求导得到单调区间，再计算极值得到答案.【详解】，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时，函数有极小值为.故答案为：14.已知函数，则的单调递减区间为___________.【答案】【解析】【分析】利用导数的性质，结合余弦函数的单调性进行求解即可.【详解】，当时，单调递减，，因为，所以，故答案为：15.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值，利用函数在区间上有极值，即可求实数的取值范围．【详解】解：的定义域为，且． ①当时，恒成立，故在上单调递增，从而没有极大值，也没有极小值．②当时，令，得，则和的情况如下：0单调递减极小值单调递增故的单调减区间为；单调增区间为．从而的极小值为，没有极大值．函数在区间上有极值，，．故答案为：．16.已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在 上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的直线l的方程：（1）过原点且与曲线相切；（2）斜率为e且与曲线相切.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，设切点为，切线方程为，根据导数的几何意义求出斜率，即可得直线方程，然后将切点代入直线方程即可求得，从而可得答案；（2）求出导函数，根据切线斜率为，求出切点坐标，即可得出答案.【小问1详解】解：，，设切点为，切线方程为， 所以，，因为切点为，所以，所以，所以切线方程为；【小问2详解】解：，因为切线斜率为，所以，所以，则切点为，所以切线方程为，即.18.已知函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为.（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值为18，最小值为.【解析】【分析】（1）根据函数在处有极值，且在处切线斜率为﹣3，列出方程组；（2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值.【小问1详解】由，得，因为函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为，所以，解得，当时，，则，令，得或，当或时，，当时，，所以为函数的极大值点，所以符合题意， 所以，【小问2详解】由（1）可得当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又因为，，，所以，.19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数单调区间．【答案】（1）（2）单调递增区间为：，单调递减区间为：【解析】【分析】（1）求导，根据导函数在某点处的导数值是切线的斜率即可求解，（2）根据导函数的正负即可确定的单调区间.【小问1详解】由得，故，所以切线方程为：【小问2详解】的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当时，，单调递增，当，单调递减，故的单调递增区间为：，单调递减区间为：20.新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产万件（每件5个口罩）的利润函数为 （单位：万元）．（1）当每月生产5万件口罩时，利润为多少万元？（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）万元；（2）当月产量约为万件时，生产的口罩所获月利润最大，最大利润为8万元．【解析】【分析】当时，，直接求解即可利用二次函数的顶点式和求导，即可求出的最值【详解】解：（1）由已知，当时，，∴．即当每月生产5万件口罩时，利润为万元．（2）当时，，∴当时，的最大值为（万元）；当时，，，令，解得．∴当时，函数单调递增，当，函数单调递减，∴当时，取最大值（万元）．∵，∴当时，取得最大值8万元．故当月产量约为万件时，生产的口罩所获月利润最大，最大利润为8万元．【点睛】本题考查分段函数以及利用导数求解最值，属于基础题21.已知函数，.（1）当时，求函数的极值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，无极小值（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）利用导数求出函数的最大值，依题意可得，解得即可.【小问1详解】解：当时，，则，令，得，令，得∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数的极大值为，无极小值；【小问2详解】解：当，，则是增函数.当时，则是减函数，∴的最大值为，∵恒成立，∴，解得，∴的取值范围为.22.已知函数，（e为自然对数的底数，且）.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导得到导函数，考虑，，三种情况，根据导数的正负得到单调区间.（2）考虑，，三种情况，求导得到单调区间，计算最值，再根据零点存在定理得到答案.【小问1详解】，当时，，则当时，，故在单调递减；当时，，故在单调递增.当时，由得，.若，则，故在上单调递增.若，当或时，，故在，单调递增.当时，，故在单调递减.综上所述：时，在单调递减，在单调递增；时，在，单调递增，在单调递减.时，在上单调递增.【小问2详解】当时，在上单调递增，不可能有两个零点.当时，在，单调递增，单调递减，故当时，取得极大值，极大值为，此时，不可能有两个零点.当时，，由得，此时，仅有一个零点. 当时，在单调递减，在单调递增，，有两个零点，故，解得，故，而则，取，则，故在、各有一个零点，综上所述：a的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调性，根据零点个数求参数范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是考试的常考题型，需要熟练掌握.