湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高一下学期期末考试数学Word版含答案.docx

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2022~2023学年度高一第二学期期末质量检测数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.-1B.1C.D.2.一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是众数的倍，则为（）A.4B.5C.6D.73.已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量是（）A.B.C.D.4.某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成组（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中a的值为0.006B.估计某校成绩落在内的学生人数为50人C.估计这20名学生考试成绩的众数为80分D.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为80分5.已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.，则B.与异面，，则不存在，使得C.则D.，则 6.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是侧面（包含边界）上的一动点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A.B.C.D.7.已知是边上的点，且为的外心，则的值为（）A.B.10C.D.98.已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.B.C.若复数满足，则或D.已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线10.为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为6，方差为8：图书管理员乙也抽取了一个容量为200的样本，并算得样本的平均数为9，方差为11.若将两个样本合在一起组成一个容量为300的新样本，则新样本数据的（）A.平均数为7.5B.平均数为8C.方差为12D.方差为1011.已知，且.当时，定义平面坐标系为“-仿射”坐标系，在“-仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（）A.设，则B.设，若，则C.设，若，则D.设，若与的夹角为，则 12.某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有（）A.多面体的体积为B.经过三个顶点的球的截面圆的面积为C.异面直线与所成的角的余弦值为D.球离球托底面的最小距离为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是关于的方程的一个根，则__________.14，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.15.在中，它的内角对应边分别为.若，则__________.16.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知点，直线与单位圆在第一象限的交点为. （1）求；（2）求.18.（12分）已知直三棱柱面为的中点.（1）证明：平面；（2）若直三棱柱的体积为1，且，求直线与平面所成角的正弦值.19.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.31010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标样本平均数和，样本方差分别为和.已知.（1）求；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）.20.（12分） 等腰直角中，为内一点，.（1）若，求；（2）若，求.21.（12分）如图，在三棱台中，平面平面.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的大小的正切值.22.（12分）小明对圆柱中的截面进行一番探究.他发现用平行于底面的平面去截圆柱可得一圆面，用与水平面成一定夹角的平面去截可得一椭圆面，用过轴的平面去截可得一矩形面.（1）图1中，圆柱底面半径为，高为2，轴截面为，设为底面（包括边界）上一动点，满足到的距离等于到直线的距离，求三棱锥体积的最大值；（2）如图2，过圆柱侧面上某一定点的水平面与侧面交成为圆，过点与水平面成角的平面与侧面交成为椭圆，小明沿着过的母线前开，把圆柱侧面展到一个平面上，发现圆 展开后得到线段，椭圆展开后得到一正弦曲线（如图3），设为椭圆上任意一点，他很想知道原因，于是他以为原点，为轴建立了平面直角坐标系，且设（图3）.试说明为什么椭圆展开后是正弦曲线，并写出其函数解析式.2022~2023学年度第二学期期末质量检测高一数学试卷参考答案一､选择题：1.C2.C3.B4.D5.A6.C7.A8.D二､选择题：9.BD10.BC11.BD12.ACD三､填空题：13.3814.15.16.四､解答题：17.解：（1）.（2）设点坐标为，由于三点共线，（或由得）18.（1）证明：连结与交于点，则为中点，为中位线，，又面面 平面（2）平面是在平面上射影是直线与平面所成的角又在Rt中，.直线与平面所成角的正弦值为19.解：（1）（2）由（1）中数据可得：而显然有成立所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.20.解：（1）Rt中，，..在中，由余弦定理得（2）设，则，又，在中由正弦定理得 即即.21.解：（1）如图，过点作，交直线于点，连接.由得.由平面平面得平面.由得平面.又由三棱台，得与所成角的余弦值为0.（2）过作，垂足为，由面面，得面.过作，垂足为，连接.面.又平面为二面角的平面角 设，则在Rt中，.二面角大小的正切值为.22.解：（1）过作，垂足为，过作，则平面是到的距离平分.点的轨迹是过与垂直的垂线段上，（圆内部分）.当三棱锥体积最大时，即高最大时，点在圆周上，此时在中，.（2）设倾斜平面与水平面交线为. 过作水平面，垂足为，过作，连接，则是倾斜平面与水平面的夹角.设.则在Rt中，