湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)

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2022~2023学年度高一第一学期期末质量检测数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,若,则的取值范围()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围.【详解】由解得即,所以,因为,所以,故选:B.2.命题“,都有”的否定是()A.,使得B.,使得C,使得D.,使得【答案】A【解析】【分析】全称改存在,再否定结论即可.【详解】命题“,都有”的否定是“,使得”.故选:A3.已知,则等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简,求出,然后利用同角三角函数的商数关系即可求得.第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

1【详解】,则,.故选:B.4.已知函数且,则()A.-5B.-3C.3D.随的值而定【答案】C【解析】分析】先推导,再根据求解即可【详解】由题意,,又,故.又,故故选:C5.已知函数是R上的单调函数,则实数a的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分函数在R上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数是R上的单调递减函数,第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

2所以,解得,因为且,所以当时,不可能是增函数,所以函数在R上不可能是增函数,综上:实数a的取值范围为,故选:B6.已知为正实数,且对任意的实数均成立,则的最小值为()A.1B.4C.8D.9【答案】D【解析】【分析】,后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案.【详解】由对任意的实数均成立,可得.,当且仅当,即时取等号.则.故选:D7.设,则()第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

3A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别判断出,,,即可得到答案.【详解】.因为,所以.所以;因为在R上为增函数,所以;因为在上为增函数,且所以,即;所以.故选:D8.设函数,其中,,,为已知实常数,,若,则()A.对任意实数,B.存在实数,C.对任意实数,D.存在实数,【答案】A【解析】【分析】根据,可推出,整理化简后可得或,分类讨论,结合三角函数诱导公式化简,即可判断答案.第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

4【详解】由题意知,即,即,两式两边平方后可得,故或,若,则,故,此时,若,则,故,此时,若或,则,故对任意实数,,则A正确,错误,故选:A【点睛】关键点点睛:解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m和n之间的关系,然后分类讨论,化简即可解决问题.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.下列三角函数值为负数的是()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据诱导公式,逐个选项进行计算,即可判断答案.【详解】对于A,,故A为正数;对于B,,故B为负数;对于C,,故C为负数;对于D,,故D为负数;故选:BCD10.下列计算或化简结果正确的是()第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

5A.若,B.若,则C.若,则D.若为第二象限角,则【答案】AB【解析】【分析】利用,结合三角函数在各个象限的符号,逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A选项:,,故A正确;对于B选项:,则,故B正确;对于C选项:∵范围不确定,∴的符号不确定,故C错误;对于D选项:为第二象限角,,,故D错误.故选:AB.11.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示,其中,下列四个结论中正确的有()A.方程有且仅有三个解B.方程有且仅有三个解第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

6C.方程有且仅有八个解D.方程有且仅有一个解【答案】ABD【解析】【分析】通过利用和,结合函数和的图象,分析每个选项中外层函数的零点,再分析内层函数的图象,即可得出结论.【详解】由图象可知,对于方程,当或,方程只有一解;当时,方程只有两解;当时,方程有三解;对于方程,当时,方程只有唯一解.对于A选项,令,则方程有三个根,,,方程、、均只有一解,所以,方程有且仅有三个解,A选项正确;对于B选项,令,方程只有一解,方程只有三解,所以,方程有且仅有三个解,B选项正确;对于C选项,设,方程有三个根,,,方程有三解,方程有三解,方程有三解,所以,方程有且仅有九个解,C选项错误;对于D选项,令,方程只有一解,方程只有一解,所以,方程有且仅有一个解,D选项正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛:对于复合函数的零点个数问题,求解思路如下:(1)确定内层函数和外层函数;(2)确定外层函数的零点;(3)确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

7,则函数的零点个数为.12.已知函数,零点分别为,,给出以下结论正确的是()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】先说明的图象关于直线对称,由题意可得,且,化简可得,判断B;写出的表达式,利用基本不等式可判断,判断A;利用零点存在定理判断出,写出的表达式,由此设函数,根据其单调性可判断.【详解】对于函数,有,即函数的图象关于直线对称,由题意函数,的零点分别为,,可知为的图象的交点的横坐标,为的图象的交点的横坐标,如图示,可得,且关于直线对称,则,且,第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

8故,即,故B正确;由题意可知,所以,由于,即,A错误;因为,,且为单调减函数,故在上存在唯一的零点,即,故,设,则该函数为单调递增函数,故,且,故,故C错误,D正确,故选:【点睛】关键点点睛:解答本题要注意到函数图象的特点,即对称性的应用,解答的关键在于根据题意推得,且关于直线对称,从而可得,且,然后写出以及的表达式,问题可解.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知.若,则的值为_________.【答案】【解析】第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

9【分析】利用三角函数的诱导公式化简,结果为,结合可得,再利用诱导公式化简为,即得答案.【详解】由题意,由可得,故,故答案为:14.若正数,满足,,则值为__________.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出即可求解.【详解】因为,所以,又因为,所以,联立解得,所以,故答案为:.15.己知实数,且,则的最大值是_______________.【答案】2【解析】第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

10【分析】由已知可得,令,构造函数,根据函数的单调性,即可求出最大值.【详解】解:由,可知,则,且有,令,,可知在上单调递减,,即的最大值是2,故答案为:2.16.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量(单位:mg/L)与时间(单位:h)间的关系为,其中,是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物,那么经过_______h污染物减少50%(精确到1h)?取,【答案】33【解析】【分析】代入给定的公式即可求解.【详解】由题知,当时,解得,当时,,解得:,所以,第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

11当时,则有:,即,解得:.故答案为:33.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若,,且.(1)解关于的不等式的解集(解集用的三角值表示);(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意,用的三角函数值替换的三角函数值,从而解一元二次不等式即可;(2)利用基本不等式求解.【小问1详解】,∴,,因为所以,∴原不等式解集;【小问2详解】,第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

12当且仅当即时取得等号.18.中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具,成为世界上最早发明计时工具国家之一.铜器时代,使用青铜制的“漏壶”,东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”,元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”,一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数,从午夜零时算起,假设分针走了会与时针重合,一天内分针和时针重合次.(1)建立关于的函数关系;(2)求一天内分针和时针重合的次数.【答案】(1).(2)22次.【解析】【分析】(1)计算出分针以及时针的旋转的角速度,由题意列出等式,求得答案;(2)根据时针旋转一天所需的时间,结合(1)的结果,列出不等式,求得答案.【小问1详解】设经过分针就与时针重合,为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为,时针旋转的角速度为,所以,即.【小问2详解】因为时针旋转一天所需的时间为(),所以,于是,故时针与分针一天内只重合22次.19.在平面直角坐标系中,是坐标原点,角的终边与单位圆的交点坐标为,射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点,点的纵坐标关于的函数为.第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

13(1)求函数的解析式,并求的值;(2)若,,求的值.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义,结合函数值的定义即可求解;(1)根据(1)的结论及诱导公式,利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【小问1详解】因为,且,所以,由此得.【小问2详解】由知,即由于,得,与此同时,所以由平方关系解得:,.第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

1420.已知函数(为常数).(1)当,求的值;(参考数据:,)(2)若函数为偶函数,求在区间上的值域.【答案】(1)0.3(2)【解析】【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算;(2)根据偶函数的性质列方程求,判断函数的单调性,利用单调性求值域.【小问1详解】当时,,此时【小问2详解】函数的定义域为,由偶函数的定义得恒有即:也就是恒有,所以当时,,因为函数为上的增函数,所以在单调递减,∴,第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

15故在上值域.21.武汉城市圈城际铁路,实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人,人均票价为4元,十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现,每辆列车的单程营业额(元)与发车时间间隔(分钟)相关;当间隔时间到达或超过12分钟后,列车均为满载状态;当时,单程营业额与成正比;当时,单程营业额会在时的基础上减少,减少的数量为.(1)求当时,单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式;(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同,据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排,发车间隔时间,则当发车时间间隔为多少分钟时,每辆列车的日均营业总额最大?求出该最大值.【答案】(1).(2)时,,【解析】【分析】(1)由题意设当时的函数表达式,由时满载求得比例系数,进而求得当时表达式,写为分段函数形式,即得答案;(2)由题意可得,,采用换元并结合二次函数性质,求得答案.【小问1详解】当时,设,a为比例系数,由时满载可知,即,则,当时,,故当时,,第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

16故.【小问2详解】由题意可得,,化简得,,令,则,当,即时,符合题意,此时.22.已知函数,,是常数.(1)若恒成立,求的取值范围;(2)设函数,试问,函数是否有零点,若有,求的取值范围;若没有,说明理由.【答案】(1)(2)没有,理由见解析【解析】【分析】(1)利用分离参数法解决函数恒成立问题,结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解;(2)根据已知条件及函数零点的定义,结合函数最值即可求解.【小问1详解】若恒成立,即恒有设,任取,且满足,由于,由不等式性质可得,即,第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

17所以函数在上单调递减,所以,所以,即;所以的取值范围为.【小问2详解】由题意可知,即设,问题转化为求的最小值,由题意可知,此时,此时没有零点.第19页/共19页学科网(北京)股份有限公司

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