湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学Word版含解析.docx

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2022～2023学年度高一第二学期联合体期末联考数学试卷试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数，从而可求出其在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由，得，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选：D2.下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断. 【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：A.3.已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量线性运算的坐标表示求解．【详解】由题意．故选：B．4.在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.36πB.28πC.20πD.12π【答案】D【解析】【分析】根据题意可知,旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,然后根据圆锥的体积公式可求得答案.【详解】依题意可知,旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,如图所示:所以,, 所以所形成的几何体的体积是.故选:D.【点睛】本题考查了两个圆锥的组合体,考查了圆锥的体积公式,本题属于基础题.5.为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点（）A.向左平移B.向左平移C向右平移D.向右平移【答案】B【解析】【分析】先假设将函数平移m个单位得到，根据图像平移变换规律，与对应系数相等得出m的值即可得出结果.【详解】设函数平移m个单位得到，可得，即，解得，根据平移规律只要把函数上所有的点向左平移，即，故选：B6.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中的值为0.004 B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为150【答案】D【解析】【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.【详解】由可得，故A错误；前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.故选：D7.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可知，先求出，然后利用夹角公式求解即可.【详解】因为，是两个单位向量，且在上的投影向量为，所以，所以，，，所以， 即的夹角的余弦值为，故选：C8.在平面凸四边形ABCD中，，，，且，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，利用余弦定理可以求得边与角的关系，表示三角形的面积，结合角的范围即可求得四边形面积的最大值.【详解】连接，设，则，在中，由余弦定理得，，在中，因为，，所以为等腰直角三角形，，则四边形ABCD的面积=，因为，所以，所以当时，四边形面积取得最大值.故选：A二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.9.在某次测量中得到A样本数据如下：52，54，54，55，56，55，56，55，55，56，若B样本数据恰好是A样本数据加5后所得数据，则下列数字特征中，A，B两样本相同的是（）A.众数B.极差C.中位数D.标准差【答案】BD【解析】【分析】根据各个数字特征的概念以及计算公式，即可得出答案.【详解】根据已知，结合各个数字特征的求解公式，可知：样本中每个数据加上5以后，众数比原来多5，故A项错误；极差不变，故B项正确；中位数比原来多5，故C项错误；平均数比原来多5，根据标准差计算公式，可知标准差不变，故D项正确.故选：BD.10.若复数z满足，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.为纯虚数B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等求出复数，再逐项分析计算判断作答.【详解】设复数，由，得，整理得，于是，解得，，对于A，为纯虚数，A正确；对于B，，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD 11.定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（）A.B.C.，则D.【答案】BC【解析】【分析】根据的运算法则，逐项化简求解，即可得出答案.【详解】对于A项，，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，由已知可得，，所以.因为，所以或，所以，故C项正确；对于D项，因为与相同或互补，所以.，，故D项错误.故选：BC.12.如图，一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是（） A.当平面平面时，平面BFDEB.当A，C重合于点P时，平面PFMC.当A，C重合于点P时，三棱锥P-DEF外接球的表面积为D.当A，C重合于点P时，四棱锥P-BFDE的体积为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用面面平行的判定和性质定理可以判断为正确；对于B,利用反证法可以说明B错误；对于C，根据题意判断出外接球的球心为的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D，利用平面平面,可求得四棱锥P-BFDE的高，进而计算出体积.【详解】由题意，将△，△沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，此时四点共面，平面平面,平面平面当平面平面时,,由题意得：，所以四边形是平行四边形，,AC不在面BFDE内，MN在面BFDE内，进而得到平面,所以A正确.,,则可得,即,同理可得 当A，C重合于点P时，如上图，则中，又所以.因为,所以为等腰三角形，则,,所以和不垂直，则不垂直平面PFM，故B错误.当A，C重合于点P时如下图，在三棱锥中，均为直角三角形，所以为外接球的直径，则外接球半径则三棱锥的外接球表面积为故C正确.,,则可得,即,同理可得当A，C重合于点P时,如下图，,PN、MN在面PMN内，则平面,DF在面BEFD内，平面平面,平面平面， 过点,作,因为是边长为的等边三角形，所以可求得，由面面垂直的性质定理知平面,即为四棱锥P-BFDE的高，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.某高中为了解学生对这一重大新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取15人，高二抽取12人，已知高三年级共有学生900人，则该高中所有学生总数为______人.【答案】3600【解析】【分析】求出高三抽取的人数，计算抽样比，即可得出答案.【详解】由已知可得，高三学生抽取的人数为，抽样比为，所以，该高中所有学生总数为.故答案为：3600.14.在正方形中，已知，，则的值为______.【答案】3【解析】【分析】是正方形,再应用垂直及模长列式求解即可.【详解】是正方形,,,,,故答案为:3.15.如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF 把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______.【答案】①.②.【解析】【分析】由线线垂直得到线面垂直，得到异面直线的夹角，再作出辅助线，找到线面角，设出正方形边长，求出各边长，求出线面角的正弦值.【详解】折叠后可得⊥，⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，故异面直线SG与EF所成的角为；取的中点，连接，过点作⊥于点，因为，，所以⊥，⊥，又，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面， 则即为直线SG与平面SEF所成角，设正方形的边长为2，则，故，所以，因为，由勾股定理得，则.故答案：；16.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】化简得到由，由余弦函数的性质，求得，结合题意得到不等式组，求得，进而求得的取值范围．【详解】由，令，可得，所以只需，解得，又因为，所以，即， 所以的取值范围是．故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设向量，，，函数，的最小正周期为.（1）求的值；（2）用五点法画出在一个周期内的图像.【答案】（1）（2）作图见解析【解析】【分析】（1）由条件可得，然后由周期可得答案.（2）根据五点作图法作出图像即可.【小问1详解】，，【小问2详解】，列表0x0200所以在一个周期内的图像为： 18.如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上（异于A，B），F为DE的中点.（1）证明：平面；（2）若直线DE与平面所成的角为时，证明：平面平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质以及圆的性质可得，.然后即可根据线面垂直的判定定理，得出证明；（2）根据已知可得出，为等腰直角三角形，，进而得出.根据线面垂直的性质定理可得.然后即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理，得出证明.【小问1详解】因为平面，平面，所以.又为圆的直径，所以.又，平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，所以，，且即为直线DE与平面所成的角，所以， 所以，为等腰直角三角形，.又为的中点，所以.由（1）知，平面，平面，所以又，平面，平面，所以，平面.因为平面，所以，平面平面.19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理将条件进行边角互化，然后根据三角恒等变换可得答案；（2）由可化得，然后，即可求出答案.【小问1详解】，由正弦定理得，，，，，又，，，【小问2详解】 因为，所以，所以，，，，，，所以.20.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得100位居民某年的月平均用水量（单位：t），将数据按照，，…，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）已知该市有80万居民，请估计全市居民中月平均用水量不低于的人数；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过xt，估计x的值，并说明理由.【答案】（1）（2）9.6万人（3），理由见解析【解析】【分析】（1）利用直方图中，小长方形的面积之和等于来列方程求解；（2）利用样本估计总体的思想，计算这里的人的用水量不低于的人数然后估计全市的数据；（3）根据题意计算分位数即可. 【小问1详解】由频率分布直方图的性质：小长方形的面积之和等于，可得：，解得【小问2详解】由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于的频率为：由此可估计全市80万居民中月均用水量不低于的人数为.估计全市居民月平均用水量不低于的人数为9.6万人【小问3详解】由题意只需求样本数据中的分位数，记该分位数为，因为前6组频率之和为，而前5组的频率之和为，所以，由，解得，因此，估计月用水量标准为时，85%的居民每月的用水量不超过标准21.如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，侧面为正方形，平面平面ABC.点M为的中点，N为AB的中点，异面直线AC与所成的角为.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取AC中点E，通过证明平面平面，得平面；（2）先证得，再用体积转化求解.【小问1详解】取AC中点E，连ME，NE，为中点，，又，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面平面，又平面，平面.【小问2详解】，为异面直线AC与所成角，即，为菱形，为等边三角形连，则，且，而平面平面，平面平面面，平面，又面，，又为正方形，，， 又，平面，平面，又平面，，.22.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.（1）证明：；（2）若O为的垂心，AO的延长线交BC于点D，且，求的周长.【答案】（1）证明见解析（2）18【解析】【分析】（1）利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求出，再由三角形内角和定理可求出，从而可证得结论；（2）作BO延长线交AC于E，则，由可得，由O为的垂心，可得，然后在和中分别利用正弦定理可得，从而可求出，再由等面积法可求出，然后利用余弦定理可求出，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】，又，，，， 又，，即，，，，，【小问2详解】作BO延长线交AC于E，为垂心，，，，，即，又，，∴，∴，∵，，在中，，，在中，，即，即，在中，，，即，，∴，，又，，，∴的周长为18.