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时间：2024-09-01
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第四节一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.一、线性方程 一阶线性微分方程的解法1.齐次线性方程(使用分离变量法)齐次方程的通解为 2.非齐次线性方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比 常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换 积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解 非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解等于与非齐次方程的一个特解之和即非齐通解=齐通解+非齐特解——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。 例解 解方程解相应齐方程解得令例 代入非齐方程解得故非齐次方程的通解为 练习解所以，方程的通解为 例解不是线性方程原方程可以改写为这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中故原方程的通解为 两边求导,得解解此微分方程：例如图所示，平行与y轴的动直线被曲线y=f(x)与y=x3截下的线段PQ之长等于阴影部分的面积,求曲线y=f(x). 解此微分方程：所求曲线为 二、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法:需经过变量代换化为线性微分方程. 代入上式求出通解后，将代入即得 例.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解: 例解 注利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法如齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程、Bernoulli方程等都是通过变量代换来求解方程的。将变换为也是经常可以考虑的 解代入原式分离变量法得所求通解为 例解微分方程另解 思考与练习1.判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程 1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程内容小结 作业P320:1(5)(10),3. (雅各布·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.
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