同济七版高等数学5.1 定积分的概念与性质.pptx

《同济七版高等数学5.1 定积分的概念与性质.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1第五章定积分定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的definiteintegral不定积分侧重于基本积分方法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想—主要组成部分.思想方法. 2定积分问题举例定积分的定义关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义定积分的性质第一节定积分的概念与性质 积分思想先于微分的产生。“无限细分，无限求和”的积分思想，在古代就已经萌牙。最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes，287BC-212BC）等人提出的计算面积和体积的方法。后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运算．这是微积分建立的关键所在．莱布尼茨创立了积分．这些符号进一步促进了微积分学的发展，并一直沿用至今。背景 41.曲边梯形的面积定积分概念也是由大量的实际问题抽象出求由连续曲线一、定积分问题举例来的,现举两例.想一想：为什么要求曲边梯形的面积？因为：任意曲线图形的面积往往可化为两个曲边梯形的面积之差。 a)化整为零b)局部近似c)求近似和d)再取极限复习：古代如何求圆的面积？——割圆术 xyOaby=f(x) 用n-1个分点：个小区间其长度设函数在区间上连续…………如上图，过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形．其面积为把分成(1)分割 在每个小区间上任取一点设函数在区间上连续……以为高，以为底，作n个小矩形，其面积分别为,则(2)取近似 设函数在区间上连续……(3)求和 abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．小矩形的划分对曲边梯形的面积有何影响？分析 曲边梯形的面积由上图观察出：时即……于是，(4)取极限 122.求变速直线运动的路程思想以不变代变设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.思路把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 13(1)分割(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)取近似表示在时间区间内走过的路程.某时刻的速度 14曲边梯形面积变速直线运动的路程两例共同点:2)方法一样;1)量具有可加性,3)结果形式一样. 15曲边梯形的面积（1）分割（2）取近似（3）求和（4）取极限变速直线运动的路程四个步骤： 在平时的科学技术和实际生活中，还有许多问题问题都可以归结为这种特定和式的极限形式，那么这和式的极限是什么呢？——定积分。 17二、定积分的定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入定义若干个分点把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记如果不论对(1)(2)(3)(4) 18被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.积分下限积分上限积分变量[a,b]积分区间 19(2)的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数有关;注无关.而与积分变量的记号无关. 20曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值1.几何意义三、定积分的几何意义和物理意义 21几何意义各部分面积的代数和.取负号.它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a,x=b之间的在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积 2222例解2.物理意义t=b所经过的路程s.oxy作直线运动的物体从时刻t=a到时刻定积分表示以变速 23定理1定理2或记为黎曼(Riemann)德国数学家(1826–1866)四、关于函数的可积性可积.且只有有限个间可积.当函数的定积分存在时,可积.黎曼可积,断点,充分条件 24解例用定义计算由抛物线和x轴所围成的曲边梯形面积.直线小区间的长度取nin1 25对于任一确定的自然数积分和当n取不同值时,近似值精度不同.n取得越大,近似程度越好. 26利用几何意义求定积分解函数y1x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以例 27例用定积分表示下列极限:解: 根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)28讨论定积分的近似计算问题. (梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.29 30对定积分的补充规定说明五、定积分的性质在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小． 31证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1 32证性质2性质1和性质2称为线性性质. 33补充例(定积分对于积分区间具有可加性)则性质3假设的相对位置如何,上式总成立.不论 34证性质4性质5如果在区间则 35解令于是比较积分值和的大小.例 36性质5的推论1证如果在区间则于是性质5如果在区间则 37证说明性质5的推论2性质5如果在区间则可积性可由f(x)的可积性推出.由推论1 38证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6分别是函数最大值及最小值.则 39解估计积分例 40例试证:证:设则在上,有即故即 41证由闭区间上连续函数的介值定理:性质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点使下式成立:积分中值公式至少存在一点使即 42定理用途注性质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点使下式成立:无论从几何上,还是从物理上,都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如何去掉积分号来表示积分值. 43积分中值公式的几何解释至少存在一点在区间使得以区间为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积. 解：函数的平均值=由平均值公式显然函数f(x)在区间[-2,2]上是连续的， 453.定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用)4.典型问题(1)估计积分值;(2)不计算定积分比较积分大小.1.定积分的实质:特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法:以直代曲、以常代变.四步曲:分割、取近似、求和、取极限.思想方法内容小结 46思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或 2利用定义计算定积分解在[0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积为方便计，将[0,1]n等分，左侧取点等比数列 莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）,是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。1673年，莱布尼茨被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。 莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。他曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。数学方面的成就： 莱布尼茨在物理学方面的贡献也是非凡的。他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。在光学方面，莱布尼茨也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼茨的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。物理方面的成就： 单击此处添加副标题谢谢聆听