高数同济§5.1 定积分概念与性质.ppt

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1、§5.1定积分概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质上页下页结束返回首页一、定积分问题举例曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积下页如何求面积?观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?近似值？下页精确值？求曲边梯形的面积(1)分割:ax0

2、);(2)近似代替:(4)取极限:设max{Dx1,Dx2,,Dxn},曲边梯形的面积为(3)求和:曲边梯形的面积近似为;下页积分的辩证法:量变质变2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割:(2)近似代替:(3)求和:(4)取极限:首页TOt1titi-1tn-1S始点终点

3、1,Dt2,,Dtn}二、定积分定义1.定积分的定义在小区间[xi1,xi]上任取一点xi(i1,2,,n),作和max{Dx1,Dx2,,Dxn};记Dxi=xi-xi1(i1,2,,n),ax0

4、的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即下页1.定积分的定义二、定积分定义说明：(2)定积分是一种特殊的和式（黎曼和）的极限，其结果是一个数值.下页(3)对区间任意分,ξi在小区间内任意取,和式的极限总存在.2.函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.1.定积分的定义二、定积分定义下页利用定义计算定积分解把区间[0,1

5、]分成n等份,例1下页1x1Oy区间端点小区间长利用定义计算定积分解例1下页1x1Oy思考:如何三等分正方形?当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.这是因为下页3.定积分的几何意义一般地,f(x)在[a,b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0

6、时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.下页3.定积分的几何意义利用几何意义求定积分解作对应的曲边梯形的面积.对应的曲边梯形是一个直角三角形,例2所以例3利用定积分的几何意义求定积分解上半圆的面积（如图），即从几何意义上看，该定积分为以R为半径的y-RORx利用几何意义求定积分例3将和式极限：表示成定积分.解原式三、定积分的性质两点规定这是因为性质1首页三、定积分的性质性质1性质2>>>性质3>>>注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立下页三、定积分的性质性质1性质2性质3性质4下页推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则这是因为

7、g(x)f(x)0从而所以如果在区间[ab]上f(x)0则性质5下页这是因为

8、f(x)

9、f(x)

10、f(x)

11、,所以推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2下页推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则下页例4.试证:证:设则在上,有即故即如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]