同济七版高等数学3.1 微分中值定理.pptx

《同济七版高等数学3.1 微分中值定理.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1第三章微分中值定理与导数的应用因为导数是函数随自变量变化的瞬时变所以可借助导数来研究函数.但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(meanvaluetheorem)化率,指导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关. 2罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理推广泰勒公式(第三节)第一节微分中值定理 3Rolle定理(1)(2)(3)罗尔Rolle(法)1652-1719使得如,一、罗尔(Rolle)定理 4物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释: 5Fermat引理费马Fermat(法)1601-1665有定义,如果对有那么内的某邻域在点设函数)()(00xUxxf,)(0存在且xf¢函数导数为0的点也称为驻点、稳定点或临界点。 6Rolle定理(1)(2)(3)使得证所以最值不可能同时在端点取得.使有由Fermat引理, 7(1)定理条件不全具备,注结论不一定成立.Rolle定理(1)(2)(3)使得]1,0[,)(Î=xxxf这三个条件只是充分条件，而非必要条件(2)罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点,有的函数这样的点可能不止一个. 8例证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证Rolle定理的正确性.Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.,)2,1(内可导在- 9例证零点定理即为方程的小于1的正实根.(1)存在性 10(2)唯一性对可导函数f(x),f(x)=0的两实根之间,在方程的一个实根.Rolle定理还指出,至少存在方程满足Rolle定理的条件.矛盾,故假设不真! 11例.试证方程分析注意到: 12证设且Rolle定理即试证方程 13练习不求导数判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根以及其所在范围解f(1)=f(2)=f(3)=0f(x)在[12][23]上满足Rolle定理的三个条件在(12)内至少存在一点x1使f(x1)=0x1是f(x)的一个实根在(23)内至少存在一点x2使f(x2)=0x2也是f(x)的一个实根f(x)是二次多项式只能有两个实根分别在区间(12)及(23)内 14注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813拉格朗日中值定理(1)(2)使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba 15证作辅助函数由此得Lagrange中值公式且易知微分中值定理 16微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为“最有价值定理”（MVT）。它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数 17几何解释:物理解释:某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在t=a到t=b的时间段内,连续运动的物体至少会在 18Lagrange公式可以写成下面的各种形式:它表达了函数增量和某点的注但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称Lagrange中值公式又称有限增量公式.有限增量定理. 19 20推论1推论2(C为常数)推论3用来证明一些重要的不等式推论4用来判断函数的单调性 21例证由推论自证说明欲证只需证在上且使,)(0Cxf=,0)(º¢xf 22例试证明下列不等式(1)设则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日定理得由于故证 23在(0,x)（或(x,0)）内可导.即(介于0与x之间).则f(t)在[0,x]（或[x,0]）上连续，(2)令f(t)=et,于是， 24例证从而 25柯西Cauchy(法)1789-1857Cauchy中值定理(1)(2)使得三、柯西(Cauchy)中值定理 26这两个错!柯西中值定理(1)(2)使得柯西定理的下述证法对吗?讨论不一定相同x 27前面对Lagrange中值定理的证明,构造了现在对两个给定的函数f(x)、F(x),构造即可证明Cauchy定理.辅助函数辅助函数分析上式写成用类比法),(),()()()(bafabafbf΢-=-xx 28Cauchy定理的几何意义注意弦的斜率柯西中值定理(1)(2)使得切线斜率 29例证分析结论可变形为即满足柯西中值定理 30罗尔定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而成立;不成立.定理也可能内容小结 31应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).关键：逆向思维,找辅助函数 单击此处添加副标题谢谢聆听