微分中值定理.pptx

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1、第三章微分中值定理与导数的应用本章基本要求1.理解罗尔定理和拉格朗日定理，了解柯西定理,会用洛必达法则求不定式的极限.2.了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.会求解较简单的最大值与最小值的应用问题.会用导数判断函数图形的凹凸性和求拐点,会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线).了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.了解求方程近似解的二分法和切线法的思想.第一节第三章微分中值定理一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容(一)问题的提出两个现象：曲线弧A⁀B

2、上至少有一点处的切线是水平的,即f()0.变速直线运动在折返点处的瞬时速度为0,即s()0.不同背景的两个现象，从数学的观点看，有一个共同点:f()0.那么，在什么条件下此结论一定成立?f(a)f(b).在[a,b]上连续;在(a,b)内可导;(3)猜结论：(a,b)，使(二)罗尔中值定理费马（Fermat）引理如果函数yf(x)在点x0处可导，且在x0的某邻域U(x0)内有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0))则f(x0)0.(1.1)f()0.在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，在(a

3、,b)内至少存在一点,使得定理3.1（罗尔中值定理）若yf(x)满足：1º定理的条件是充分条件.若定理的条件不全具备，结论不一定成立.注O1xxO112x条件不满足，结论不成立的例子：yyyO13°使f()0的点不一定是f(x)的最值点.4°罗尔定理未指明在(a,b)内的具体位置.x2º定理条件只是充分的，并非必要条件.y-11Of(x)sgnx(,0)U(0,)f()0.(1.2)baf()f(b)f(a)(三)拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理）若yf(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；

4、在(a,b)内至少存在一点,使得注1º与罗尔定理相比，去掉了条件(3):f(a)f(b)2º结论(1.2)亦可写成：f(b)f(a)f()(ba)3º结论(1.2)的几何意义设A(a,f(a))，B(b,f(b))AB弦的斜率：kf(b)f(a)ba注1°f(b)f(a)f[a(ba)](ba)其中aa(ba).ba(2)(0,1),使Oxab2°ba,(1.2)也成立.3°(1.2)的其他形式：(1)(a,b),使f(b)f(a)f()(ba)特例f(a)f(b)RL拉格朗日中值定理的有限增量

5、形式:ax0,bx0Δx,令增量△y的精确表达式设f(x)在[x0,x0Δx]上连续，在(x0,x0Δx)内可导,则有Δyf(x0Δx)f(x0)f(x0Δx)Δx(01)对比：Δydyf(x0)Δx(f(x0)0,Δx1)拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.若f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内，恒有f(x)0,则f(x)在[a,b]上是一个常数.推论注等任何区间.推论中的闭区间[a,b]可换成：(a,b),[a,b),(a,),(,)(1.3)F()F

6、(b)F(a)f(b)f(a)f()在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在开区间(a,b)内F(x)0;至少存在一点(a,b),使得(四)柯西中值定理定理3.3（柯西中值定理）若f(x)及F(x)满足:几何解释:设A(F(a),f(a)),B(F(b),f(b))AB弦的斜率：kf(b)f(a)F(b)F(a)（AB上对应于x的点C处的切线斜率：xdxdxdXdYdXxdY在曲线弧AB上至少有一点C(F(),f()),在该点处的切线平行于弦AB（f()F()F(b)F(a)ba,F(x)1,f(b)

7、f(a)f()F(b)F(a)F()f(b)f(a)f().ba注1o当F(x)x时,特例f(a)f(b)特例F(x)xRLCf(b)f(a)2°微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理F(b)F(a)F(x)x3°微分中值定理的应用证明恒等式证明不等式确定方程根的存在性证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维构造辅助函数二、典型例题例1证明方程x55x10有且仅有一个小于1的正实根.证(1)存在性设f(x)x55x1,则