同济七版高等数学 1.2 数列的极限.pptx

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二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入 1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入 正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积 2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 二、数列的定义例如 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数 问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它? 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。 如果数列没有极限,就说数列是发散的.定义采用逻辑符号将的定义可缩写为: 注①此定义习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素(1)，正数ε，(2)，正数N，(3)不等式|xn－a|＜ε（n＞N） ②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。 ③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xn－a|＜εn＞N ④定义中的不等式|xn－a|＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立.⑤由于ε是任意给定的正数，自然也都是任意给定的正数，它们本质上与ε起同样的作用。在以后的学习中，常用到这些等价的形式。… 数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义只用来证明极限，未给出求极限的方法.若要求极限，首先要先证明极限的存在性，然后才能求极限值。 例1所以,证虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的总暂时认为它是固定的,按照这个找出使不等式成立的N.解不等式 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N.放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限 例2证明数列以0为极限.证要使由于有为了简化解不等式的运算,常常把作适当地放大.用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N. 例3证 练习证明证明则当n＞N时，有 四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界 定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.有界性定理的推论：无界数列必发散.即无界数列的极限不存在. 收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界. 2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.[分析]直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义，在a的任一ε邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有xn中的有限个点 设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法任意性常数由的任意性,上式矛盾,故a=b. 另证(反证法)a≠b不妨设a＜b矛盾，这说明结论成立 例4证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内. 3.保号性证由绝对值不等式的知识,立即得a<0的情形类似可证,由学生自己完成.定理3 保号性定理的推论：这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号由保号性定理,运用反证法证明 子数列的概念在数列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为4.子数列的收敛性 定理4若数列xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a证 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列xn有两个子数列收敛于不同的极限值，则xn一定是发散的。子数列收敛定理往往用来证明或判断数列极限不存在． 例5对于数列xn证则恒有 问.如何判断数列极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.练习试证数列不收敛.证因为的奇子数列不收敛.收敛于而偶子数列所以数列收敛于L,1,1,1--- 内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限 数列的极限思考题“”恒有是数列收敛于a的().A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件1C2D.不确定,时当Nn³ 单击此处添加副标题谢谢聆听