四川省内江市内江市第六中学2022-2023学年高一下学期期中数学 Word版含解析.docx

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内江六中2022—2023学年（下）高2025届期中考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分第I卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.已知向量，满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接根据平面向量夹角的计算公式计算即可.【详解】因为，，，所以.故选：D.2.已知，则（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式由求解.【详解】因为，所以，故选：B.3.在中，，为边的中点，则（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.【详解】因为为边的中点，所以，因为，所以，则．故选：C4.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，再利用特殊值的函数值，逐一判断即可.【详解】对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A符合图象；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B不符题意； 对于C，函数，因为，故C不符题意；对于D，当时，，故D不符题意.故选：A.5.已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的最大值为2C.函数在上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为【答案】C【解析】【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【详解】对于A和B，，所以的最小正周期为，的最大值为1，故A错误，B错误，对于C，当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为 ，故D不正确，故选：C6.若函数在区间上存在最小值-2.则非零实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分和两种情况，结合三角函数的性质即可得出结论．【详解】解：由已知可得：①当时，函数在区间上存在最小值-2，，可得；②当时，，函数在区间上存在最小值-2，，可得：；综上所述，非零实数的取值范围；故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．7.已知向量，满足，，且，为任意向量，则的最小值为（）A.－2B.C.－3D.【答案】B 【解析】【分析】由已知可得向量，夹角为，可取，，设，利用配方法求的最小值.【详解】由，，且，设向量，夹角为，则，由，得，在平面直角系中，取，，满足，，且，设，则，，，所以当时，有最小值故选：B.8.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（）A7B.C.4D.【答案】A【解析】【分析】由题设，，，利用向量夹角公式求得、，根据新定义及正余弦齐次运算求目标式的值.【详解】由，，， ，，所以，故，则，整理得.故选：A二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）9.下列说法正确的是（）A若，则B.零向量与任意向量平行C.D.在正六边形中，【答案】AB【解析】【分析】根据向量的定义、向量的线性运算法则、向量垂直与数量积的关系判断各选项．【详解】易得A，B正确；，C错误；在正六边形中，，D错误．故选：AB．10.若函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A.的最小正周期为 B.的增区间是C.D.将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象【答案】ABD【解析】【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解.【详解】由图象可知：，，所以，则，又因为函数图象过点，所以，则，所以，又因，所以，则函数解析式为：.对于，函数的最小正周期，故选项正确；对于，因为，令，解得：，所以函数的增区间是，故选项正确；对于，因为函数的最小正周期，则，，所以，故选项错误；对于，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故选项正确，故选：.11.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（）．A.若，则B.若，则是钝角三角形 C.若，则为等腰三角形D.若，，，则满足条件的三角形有且只有一个【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理结合结论大角对大边可判断A；由余弦定理结合正弦定理的边角互换可判断B；由正弦定理的边角互换结合二倍角的正弦公式可判断C；由余弦定理求出可判断D.【详解】对A选项，根据结论大角对大边，则有，又因为正弦定理，所以，故A正确；对B选项，由可得，∴，为钝角三角形，故B正确；对C选项，由可得，∴，∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对D选项，由，则，解得，故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确.故选：ABD．12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用．如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M（视为质点）从水中浮现时（图中点）开始计时，经过t秒后，盛水桶M运动到P点，则下列说法正确的是（）A.当秒时，米；B.在转动一周内，盛水桶到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒； C.当时，盛水桶距水面的最大距离为米；D.盛水桶运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为米．【答案】BCD【解析】【分析】以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心为坐标原点，以平行于水面的直线为轴建立平面直角坐标系，求出点距离水面的高度关于时间的函数解析式，再根据三角函数的性质一一分析即可.【详解】解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心为坐标原点，以平行于水面的直线为轴建立平面直角坐标系，点距离水面的高度关于时间的函数为．则，解，，又水轮每分钟转动一周，则，，由，得，，则．对于A：当时，，又，，故A错误；对于B：令，则，所以，解得，则在转动一圈内，盛水桶到水面的距离不低于米以上的持续时间为秒，故B正确； 对于C，当，则，则，所以，故C正确；设盛水桶运动时间为，则另一桶为，所以，当时，故D正确；故选：BCD．第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.已知在△ABC中，＝＝，则角C的度数为________.【答案】120°【解析】【分析】由已知条件，结合正弦定理可得,不妨设,利用余弦定理求得，进而得解.【详解】由已知得,由正弦定理的,∴,不妨设,则,∴=120°，故答案为：120°. 14.已知，，，，则向量在方向上的投影向量的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】先求得向量、的坐标，再根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】因为，，，，所以、，所以，，所以向量在方向上的投影向量为.故答案为：15.已知的内角、、的对边分别为、、，若，，且的面积是，___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数计算出的值，利用三角形的面积公式和条件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.【详解】，，，且的面积是，，，，，由余弦定理得，.故答案为．【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.16.下列命题：①若，，，为锐角，则实数的取值范围是；②若非零向量，且，则为等边三角形；③若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时，；④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点一定通过的重心；⑤如果内接于半径为的圆，且，则的面积的最大值为.其中正确的序号为_______________________．【答案】②④⑤【解析】【分析】由为锐角，则且不共线，列式求解可判断①；由条件可知的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，所以，即可判断②；，利用二次函数的性质求解可判断③；记BC中点为E，则，故与共线，而直线AE过的重心，即可判断④；由条件结合正弦定理得，可得角C，由余弦定理结合基本不等式可得，进而由三角形面积公式求解可判断⑤.【详解】对于①，由，得，，因为为锐角，故且不共线， 所以，解得且，故①错误；对于②，因为非零向量，所以的角平分线与垂直，为等腰三角形，又，又，所以，所以为等边三角形，故②正确；对于③，，当时，取得最小值，故③错误；对于④，已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，记BC中点为E，则，则，故与共线，而直线AE过的重心，故动点P一定通过的重心，故④正确；对于⑤，∵，∴根据正弦定理，得，可得，∴，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为，∵，∴由余弦定理，可得，当且仅当时等号成立，∴，∴，即面积的最大值为 ，故⑤正确.故答案为：②④⑤.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，．（1）若，求；（2）若与共线，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算和向量垂直的坐标表示计算求得的值，然后计算模；（2）利用向量的线性运算和向量共线的坐标表示计算求得的值.【详解】（1）因为，，，，，，，，；（2）由已知：，，，．18.已知函数．（1）求函数的对称轴和对称中心；（2）若，，求的值．【答案】（1），；，（2）7 【解析】【分析】（1）利用诱导公式，降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，利用三角函数的性质求得结果；（2）由条件求得，根据的取值范围得到，再利用两角和的正切公式进行解答即可.【小问1详解】，令，则，，所以的对称轴为，，令，则，，所以函数的对称中心为，.【小问2详解】，∴，又，∴，∴．19.已知函数.（1）求的最大值及相应的值；（2）设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，求的值. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）整理函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；（2）利用题意求得，在直角中，即可求解.【小问1详解】解：由题意，函数，所以函数的最大值为，此时，即.小问2详解】由题意，函数，过作轴于，因为所以，可得，在直角中，可得.20.已知平面向量，，，其中．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图象所有的点向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到的图象，若在上恰有2个解，求m的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；（2）根据三角函数变换规则得到的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围，再根据余弦函数的性质及图象计算可得；【小问1详解】解：因为，且，所以，，即，令，，解得，，又因为，所以函数的单调增区间为：．【小问2详解】解：因为，所以将函数的图象所有的点向右平移个单位得到， 将所得图象上各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）再向下平移个单位得到，又因为，所以，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减，且，作出图像可得：所以的取值范围．21.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．（1）求角C的大小．（2）若，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选择条件①利用余弦定理化简整理可得，得；选择条件②，利用正弦定理角化边即可得，即；选择条件③，利用正弦定理和三角恒等变换可得，即；（2）由（1）中结论利用正弦定理可知，，化简得即可求得其范围.【小问1详解】选择条件①．由余弦定理得．整理得，所以由余弦定理得．又因为，所以．选择条件②．由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．又因为，所以．选择条件③．由正弦定理得．整理得，所以．因为，所以．显然，所以． 又因为，所以．【小问2详解】因为，，所以由正弦定理得，即．因为，所以，所以．因为，所以，所以，故的取值范围是．22.如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.【详解】（1）连结，则 四边形的面积为（2）由题意，在中，，由正弦定理同理在中，，由正弦定理令时，即，的最大值为5【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题