湖北省武汉市第四中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学Word版含解析.docx

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2023-2024学年度武汉四中高一10月月考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，且，则（）.A.B.或0C.或1或0D.或或0【答案】B【解析】【分析】利用条件，得或，求解之后进行验证即可．【详解】解：因为，，若，则或，解得x＝2或−2或1或0．①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足．②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足．④当x＝−2，集合A＝{1，4，−2}，B＝{1，4}，满足．综上，x＝2或−2或0．故选：B．【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．2.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求函数的定义域求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.【详解】由于，所以.对于函数，由于，所以，所以，所以.故选：B 3.若，则实数的取值范围是（）AB.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】当时，解分式不等式可求得的范围，取补集即可得到结果.详解】若，则，，则当时，实数的取值范围为.故选：B.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】不等式的解集即为所求函数的定义域．【解答】函数的定义域为，函数中，，解得，函数的定义域为．故选：D5.在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可． 【详解】若方程和都没有实数根.则，解得：.则方程和中，已知至少有一个方程有实数根.所以或故选：C【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题．6.已知＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，求出，进而可得，由此可求出的值【详解】解：设，则，所以，所以，解得故选：A【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题7.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润最大. A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系式，从而可得，化简后利用基本不等式可求得其最大值.【详解】根据二次函数的图象设二次函数为，因为图象过，所以，解得，所以（），所以，当且仅当，即时取等号，所以每辆客车营运5年时，其营运的年平均利润最大，故选：C.8.已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由题意，是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系把化为含有的代数式，令，进一步转化为关于的二次函数，再由配方法求最值.【详解】由题意，当，有，，是方程的两个不等实数根，，，而，，即，，令，则，则当时，有最小值且为.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数表示同一个函数的是（）．A.与B.与C.与D.与【答案】BC【解析】【分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应关系是否完全一致即可. 【详解】选项A，当时，，，所以与对应关系不完全一致，故不是同一个函数；选项B，与定义域都为，且对应关系完全一致，故是同一个函数；选项C，与的定义域都为，且，对应关系完全一致，故是同一个函数；选项D，对，由，解得，所以的定义域为，对，由，解得或，所以的定义域为，两函数定义域不同，故不是同一个函数.故选：BC.10.已知函数的定义域为A，集合．则“使得成立”的充分条件可以是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】可得，，然后可得“使得成立”的充要条件，然后可选出答案.【详解】由可得，即所以“使得成立”的充要条件是，解得故选：AD11.已知，为正实数，且，则（） A.的最大值为2B.的最小值为4C.的最小值为3D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.【详解】解：因为，当且仅当时取等号，解得，即，故的最大值为2，A正确；由得，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；，当且仅当，即时取等号，C错误；，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．故选：ABD．12.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】由，得当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；综上所述：实数的取值范围是.对选项逐一检验，只有，符合.故选：BD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，若，则__________.【答案】【解析】【分析】分，两种情况，根据分段函数代入求解，即可【详解】由题意，当时，，即（舍去）；当时，，即，即（舍正）.综上：.故答案为：.14.已知，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】，当且仅当，解得，，又因为，所以时等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式求代数式的最值，考查了“”的代换的应用，考查计算能力，属于基础题. 15.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围.【详解】变形为，故在上有解，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故答案为：16.设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.①集合为幸运集；②集合为幸运集；③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；其中正确结论的序号是________【答案】②④【解析】分析】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；【详解】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；②设，则 ，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；故答案为：②④【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法.四､解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设集合，，，求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果；（2）根据补集和并集定义可求得结果；（3）根据补集和交集定义可求得结果.【小问1详解】由并集定义知：.【小问2详解】，.【小问3详解】，或，. 18.已知集合，不等式的解集为，集合.（1）当时，求集合（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）解各集合中的不等式，可得这三个集合；（2）解集合中的不等式，得到集合，由，得，列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】由，得，解得，则有，由，解得，则有，由，解得，则有.【小问2详解】或，因为，所以，即，由，得，所以或所以的范围为.19.已知集合，，且．（1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.【小问1详解】由命题p：“，”是真命题，可知，又，所以，解得．【小问2详解】因为，所以，得．因为命题q：“，”是真命题，所以，所以，或，得．综上，．20.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意，在时恒成立，求在时的最大值即可；（2）分类讨论解不等式，由题意，是的真子集，列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】由题意得在时恒成立，令，对称轴，结合图像可知，取得最大值， 则有，得，即.【小问2详解】不等式，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时；②当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时，综上①②可得实数的取值范围为.21.地铁给市民出行带来很多便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为．（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1），（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【解析】【分析】（1）由题意知，，为常数），再由（2）求得，则可求，进一步求得（6）得答案；（2）由，可得，分段求最值得答案． 【详解】（1）由题意知，，为常数），（2），，，（6）；（2）由，可得，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当时等号成立，当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22.（1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值；（2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；（3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）当函数最小值为（2），当且仅当且，同号时等号成立.（3）当时，取得最小值【解析】【分析】根据乘1法，构造法，基本不等式和的转换思想解决即可.【详解】解：当且仅当时取“=”所以当函数最小值（2），又，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足；（3）令，，构造求出，，因为，所以，所以M=取等号时，解的，，即 所以时，取得最小值