湖北省宜昌市葛洲坝中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学Word版含解析.docx

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宜昌市省级示范高中葛洲坝中学2023-2024学年度高一上学期元月考试卷数学试题（满分120分）一、单选题（每题5分，共40分）1.函数定义域为（）A.且B.C.且D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为且.故选：A.2.函数的零点所在的一个区间是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】为增函数，.所以函数的零点所在的一个区间是.故选C.3.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】由弧度定义及扇形面积列式求得弧长与半径，即可得求得周长.【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是4，∴，由，∴扇形的周长为.故选：C4.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析】取，，可得“”不能推出“”；由基本不等式可知由“”可以推出“”，进而可得结果.【详解】因为，，取，，则满足，但是，所以“”不能推出“”；反过来，因为，所以当时，有，即.综上可知，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.设，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据同角的平方关系与商关系求解即可．【详解】解：∵，则，∴，即，又， ∴，即，又为第二象限角，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题．6.已知角的终边过点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由三角函数的定义可得：，也即，由可得：，解得：或（舍去），因为角终边过点，所以，则，故选：.7.已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（）A.0B.-1C.1D.无法确定【答案】B【解析】【分析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为 ，所以关于直线对称，可得函数的周期，由此即可求出结果.【详解】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；所以，所以，所以，所以函数的周期，.故选：B.8.如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数与下列哪项最接近（）（结果精确到，参考数据，，）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合正切函数的定义即可求解.【详解】依题知，为等腰直角三角形，则，，则，在，，即， 故点在尺上的读数约为故选：C二、多选题（每题5分，共15分）9.下列命题中为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质，结合幂函数的单调性，举反例对每个选项逐一验证，确定正确选项即可．【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，若，因为，所以，得，故B正确；对于C，由，则，即，又，所以，故C正确；对于D，又即，又函数是R上的增函数，所以故D正确.故选：BCD.10.已知，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用平方关系式可得，利用诱导公式计算可得， ，.【详解】由，可得，，，．故选：BD11.下列说法正确的是（）A.角终边在第二象限或第四象限的充要条件是B.圆一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于C.经过小时，时针转了D.若角和角的终边关于对称，则有【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C，根据任意角的定义即可判断；对于D，由角的终边得出两角的关系即可【详解】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；因为，所以或，故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限， 综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，所以经过4小时应旋转，故C错误；对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确故选：ABD三、填空题（每题5分，共20分）12.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径，所以该扇形的面积.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.13.若一个扇形的面积为，则当半径为________时扇形的周长最小.【答案】2【解析】【分析】根据扇形的面积公式列出周长表达式，利用基本不等式求解.【详解】设扇形的弧长为，半径为，由扇形的面积为，则，得，扇形的周长为，当且仅当即时，等号成立. 所以当时，扇形的周长最小.故答案为：.14.已知函数，若___________．【答案】5【解析】【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】解：因为函数，所以，即，所以，故答案为：5.15.已知函数，若且，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由题设，结合对数函数的单调性即可得，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】解：由对数复合函数的单调性得函数在上单调递增，因为，所以函数在上，在上，因为且，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时等号成立， 由于，所以等号不能取到，所以，所以的取值范围是故答案为：四、解答题16.（1）已知，且为第二象限角，求，的值；（2）化简求值：【答案】（1），；（2）2．【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系即可求得，的值；（2）利用指对数运算规则即可求得该代数式的值.【详解】（1）由，且为第二象限角，可得，；（2）17.已知，（1）求的值； （2）求；【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）由已知，化简整理可得，即可得解；（2）化简，根据（1）的结果代入即可得解．【详解】（1）由已知，化简得，整理得故（2）．【点睛】本题考查了三角函数的运算，考查了知弦求切和知切求弦，主要利用了诱导公式，属于简单题.18.（1）求函数的最小值.（2）若是关于的方程的两个根，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的图象和性质，即可求解；（2）根据题意，利用韦达定理，得出方程，求得的值，得出，再结合诱导公式化简、求值即可.【详解】（1）解：由函数，因为，所以当时，函数取最小值. （2）解：因为是关于的方程的两个根，由，即，解得或，且，因为，即，解得或（舍去），所以，所以.19.（1）已知方程，的值．（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简为含有的形式，代入即可；（2）由根与系数关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求的值．【详解】解：（1）由得：，即，， ；（2），是关于的方程的两个实根，，解得：，又，，，即，解得：，，.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.20.已知若有六个根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】令，则，作出函数的图象，转化为在上有两解，列出不等式组，即可求解.【详解】令，则，作出函数的图象，如图所示， 设函数的零点分别为，由图象知，要使得有六个根，转化为在上有两解，则满足，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.