湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一上学期期中数学 Word版含解析.docx

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2023年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由可得或，所以，故选：D2.已知命题，则（）A.B.C.D.时，为真命题【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定求解即可.【详解】命题，故，所以A选项和C选项错误，B选项正确；当时，方程的，所以方程有解，为假命题，故D选项错误.故选：B3.（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由指数幂的运算规则化简求值.【详解】.故选：C4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除,再根据,对应,排除,进而选出正确答案.【详解】由函数，可得，故函数的定义域为，又，所以是偶函数，其图象关于轴对称，因此错误；当0时，，所以错误．故选: 5.若，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用指数函数的性质比较大小即可.【详解】根据指数函数的单调性知，，而，故，故选：D6.已知函数，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可求的值.【详解】函数，，，所以.故选：C7.“”是“满足对任意都有成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据分段函数单调性求得，利用包含关系分析充分、必要条件.【详解】若，不妨令，则， 则，即，可知函数单调递减，可得，解得，因为是的真子集，所以“”是“满足对任意都有成立”的充分不必要条件.故选：A.8.已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由平移知识得出是奇函数，进而由单调性画出函数，的简图，结合图像解不等式即可.【详解】因为函数关于点对称，所以函数关于点对称，是奇函数，则等价于.函数简图如下图所示：由平移变换可知，函数的简图如下图所示： 等价于或.由图可知，的解集为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.对任意实数，都有D.若二次函数，实数，则【答案】BCD【解析】【分析】根据作差法，结合不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，，由于，，所以，故，故A错误，对于B,，由于，，所以，故，B正确，对于C，，故C正确， 对于D,，故，D正确，故选：BCD10.已知函数，则（）A.在上单调递增B.的值域为C.不等式的解集为D.若在上单调递减，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】探讨指数位置的函数性质，再利用指数型复合函数，结合选项AB条件分析判断AB；解指数不等式判断C；利用指数型复合函数单调性判断D.【详解】函数在上单调递增，在上的值域为，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，，A正确，B错误；不等式，解得，C正确；依题意，函数，显然在上单调递减，而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，因此，即，解得，即实数的取值范围为，D正确.故选：ACD11.设函数，则下列说法正确的是（）A. B.函数为偶函数C.函数的最小值为0D.当时，，则a的取值范围为【答案】BC【解析】【分析】根据函数新定义结合函数解析式，作出函数的图象，数形结合，可判断A，B，C；由图象得出时函数的最大值，结合不等式恒成立即可求得a的范围，判断D.【详解】在同一坐标系作出和的图象如图所示，联立可得，即得图中，由对称性可得，则，其图象是图中实线部分．则，故A错误；由图象可知函数为偶函数，函数的最小值为0，无最大值，B，C正确；当时，，由于，所以，D错误，故选：BC12.已知不等式对恒成立，则的值可以是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】 【分析】由题意先对不等式左边变形并不断利用基本不等式求出它的最小值，注意取等条件是否成立，然后将恒成立问题等价转换，即可求出参数的范围，最后对比选项即可求解.【详解】由题意，第一个等号成立当且仅当，第二个等号成立当且仅当，综上所述：，当且仅当时成立；又不等式对恒成立，等价于，解得，对比选项可知的值可以是或或.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是将不等式左边变形，利用基本不等式求最小值，从而可将恒成立问题等价转换，进而顺利求解，灵活的变形技巧是必不可少的，当然利用基本不等式求最小值时，要注意验证取等条件.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的值为______.【答案】34【解析】【分析】根据指数幂的运算，平方即可求解.【详解】由可得，进而，故答案为：3414.已知幂函数在上单调递减，若，则a 的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】利用幂函数的定义及单调性，求出参数，再借助单调性解不等式即得.【详解】幂函数在上单调递减，则，解得，不等式化为，显然函数在R上单调递增，因此，解得，所以a的取值范围为.故答案为：15.已知函数在上的最大值为，则实数的值为_____.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值.【详解】函数的对称轴为直线，因为当时，，得（舍去），当时，，得，综上，实数的值是.故答案为：.16.已知图象连续不断的函数是定义域为的偶函数，若对任意的，，当时，总有，则满足不等式的a的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性定义可判断的单调性，进而构造函数 ，确定其单调性以及奇偶性，即可根据单调性求解.【详解】由，，当时，可得，故函数在单调递减，令，由于在单调递减，由于在单调递减，又，所以为奇函数，故在单调递减，所以可得，即，所以，解得，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）设，，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数不等式化简集合，由一元二次的解化简集合，即可根据并集运算求解，（2）根据子集的包含关系，即可求解.【小问1详解】,当时,,.【小问2详解】 ，,又，，，，实数a的取值范围为18.若关于的不等式的解集是.（1）求实数的值；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）1（2）4【解析】【分析】（1）利用不等式解集就是方程等于零的两根求出即可；（2）利用基本不等式求解即可.【小问1详解】不等式的解集是，和是方程的两个根，,.小问2详解】当时，即时，，当且仅当，即（舍），时取等号，故.19.已知函数是增函数，且.（1）若，，求的最小值；（2）是否存在实数，使得当时，函数的最小值恰为，而最大值恰为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）16（2）存，，【解析】【分析】（1）根据以及函数的单调性可求解，进而又基本不等式乘“1”法即可求解， （2）根据函数的单调性，化简可得，是方程的两个根，即可一元二次方程的根求解.【小问1详解】，，，或，又函数是增函数，，，.由，得，，又，，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为.【小问2详解】为增函数，当时，函数的最小值为，最大值为，由，得，即，，是方程的两个根，，，，存在，满足要求.20.已知函数的图象过点和.（1）求证：是奇函数，并判断的单调性（不需要证明）； （2）若，使得不等式都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析，增函数（2）【解析】【分析】（1）把图象上的点代入函数解析式，求得，得到解析式，由定义法证明函数是奇函数，由解析式判断的单调性；（2）由函数的奇偶性和单调性，，使得不等式都成立，等价于在上恒成立，设，由单调性求最小值即可.【小问1详解】函数的图象过点和，则有，解得，所以，函数定义域为R，，所以函数奇函数.由函数和都是R上的增函数，所以在R上单调递增.【小问2详解】是奇函数，且在R上单调递增，不等式等价，可得，若，使得不等式都成立，等价于，恒成立，即，在上恒成立， 设，，且，有，由，则，，，则，即，故在上单调递减，，得，所以实数的取值范围为.21.先看下面的阅读材料：已知三次函数（），称相应的二次函数为的“导函数”，研究发现，若导函数在区间上恒成立，则在区间上单调递增；若导函数在区间上恒成立，则在区间上单调递减.例如：函数，其导函数，由，得，由，得或，所以三次函数在区间上单调递增，在区间和上单调递减.结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边，），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分.①设，求出梯形的面积与的解析式；②求该公园的最大面积. 【答案】（1）在区间上单调递增，在区间和上单调递减（2）①（）；②【解析】分析】（1）由导数研究单调区间；（2）由导数研究最值.【小问1详解】的导函数为,由，得，由，得或，所以三次函数在区间上单调递增，在区间和上单调递减.【小问2详解】①以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设曲线所在抛物线的方程为（），抛物线过，，得，曲线所在抛物线的方程为，又，，则所在直线为，（），则，，公园的面积（），②由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值． 故该公园的最大面积为．22.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）如果关于的方程有三个不相等的非零实数解，，，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）直接由分段函数定义、二次函数的性质即可求解.（2）首先分类讨论求出满足题意的参数的取值范围，然后再根据求根公式、韦达定理将表示成的函数，从而即可得解.【小问1详解】当时，，即当时，，当时，，据二次函数的性质可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为.【小问2详解】，当时，当时，方程的判别式，可知方程无解，所以此时不符合题意；当时，不符合题意；当时，方程有个不相等的实数根，且在上递增，所以时，有个根，且时，有个根， 所以只需满足，解得，综上：取值范围是.不妨设，则，所以，因为，则，可得，所以.故的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接结合二次函数性质分区间讨论即可，第二问关键是首先要求出的范围，以及将所求表示成的函数，在计算过程中，灵活的变形技巧是必不可少的，这一点平时练习多加注意.