四川省射洪中学校2022-2023学年高二上学期1月月考数学（理） Word版含解析.docx

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射洪中学高2021级2022年下期第四学月考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1.从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【答案】C【解析】【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【详解】已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．2.直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（　　）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理可得,即可判断两直线位置关系【详解】由题意可设方程的两根为、，则， 所以直线与直线垂直,故选：B3.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是（）A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于90的人数，结合茎叶图可得答案．【详解】由题可知该程序框图的作用是统计14次考试中成绩大于90分的次数.根据茎叶图可得超过90分的次数为10，故选：D.4.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是 A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】正方形面积为，内切圆中黑色部分的面积为，所以正方形内白色部分的面积为，故所求的概率为.5.已知直线，平面，且，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是A.①④B.③④C.①②D.②③【答案】A【解析】【详解】若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．若α⊥β,且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选A.6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，判断选项C错误；求出用电量在的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量在[30，40）一组的概率，即可判断选项D正确；【详解】解：对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是，有（人），故选项A正确；对于B：12月份用电量不低于20度的频率是，有（人），故选项B正确；对于C：12月份人均用电量为：（度），故选项C错误；对于D，用电量在的有：人，所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为，故选项D正确.故选：C.7.已知满足条件，则目标函数从最小值连续变化到0时，所有满足条件点构成的平面区域的面积为A.2B.1C.D.【答案】B【解析】【详解】作出不等式组的可行域，如图所示： 目标函数的最小值等价于直线的最小纵截距.平移直线经过点A(-2,0)时最小为，当经过点时，为0，所有满足条件的点构成的平面区域为，点,面积为.故选B.8.已知矩形，，，将矩形沿对角线折成大小为的二面角，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是A.B.C.D.与的大小有关【答案】C【解析】【详解】由题意得，在二面角内的中点O到点A,B,C,D的距离相等，且为，所以点O即为外接球的球心，且球半径为，所以外接球的表面积为．选C．9.若点在两条平行直线与之间，则整数的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将代入直线方程可求得的取值范围，根据为整数可求得结果.【详解】把代入，得：把代入，得： ，又为整数本题正确选项：【点睛】本题考查点与直线的位置关系，属于基础题.10.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率.【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（　　）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】由正方体证明垂直于平面，且过等边的中心，因此可得结论．【详解】在正方体中，连接，，由平面，平面，得，又，与是平面内两相交直线，因此有平面，而平面，所以，同理，与是平面内相交直线，因此有对角线垂直于平面，由于是正四面体，因此过等边的中心，可知正方体绕对角线旋转与原正方体重合，故选：A12.在直角坐标系内，已知是以点为圆心圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最大值为（）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】【分析】利用圆的性质先确定圆，结合向量数量积得出三点共圆，再利用两圆的位置关系数形结合即可.【详解】由题意可得圆心在两折痕方程上，联立方程得，即圆心，半径，，即三点共圆， 该圆以为直径，故圆心为原点.如图所示连接交圆C于B点，当重合时此时两圆相内切，最大，即.故选：B第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉______组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用作答）【答案】D【解析】【详解】∵A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近这条直线，而D点离得远，∴去掉D点剩下的4组数据的线性相关性较强.故答案为D.14.执行如下图所示的程序框图，若输入，则输出的值为____． 【答案】15【解析】【详解】根据题意，本程序框图为求y的最值，循环体为“直到型”循环结构，输入x=3，第一次循环：y=2×3+1=7，|7−3|=4，x=7；第二次循环：y=2×7+1=15，|15−7|=8>7，∴结束循环，输出y=15.故答案为15.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.15.若直线与函数的图象相交于两点，且，____.【答案】##0.5【解析】【分析】对变形后得，从而看出其图象为半圆.因为弦长已知，故弦心距可求，利用圆心到直线的距离公式求得或，注意图象是半圆，故需利用斜率的范围舍去.【详解】函数可化为，它表示在直线上方的半圆（含与直线上的两个点），如图所示， 圆心到直线的距离为，故，解得或.由恒过，而，故，因此舍去，故.故答案为:.16.在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是________.【答案】【解析】【分析】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，由，可得，进而可得出结果.【详解】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，则有，，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以线段长度最大值为. 故答案为6【点睛】本题主要考查点线面间的距离计算，以及立体几何中的轨迹问题，常用坐标系的方法处理，属于常考题型.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的三个顶点坐标分别是，，．（1）求边的高所在直线的点斜式方程；（2）求边上的中线所在直线的一般式方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）求得AB的斜率，可得边AB高所在直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求得AB的中点坐标，可得中线的斜率，再由点斜式方程可得一般式方程．试题解析：（1）边上的高所在的直线为直线为垂足，由已知得：，而，而，所以直线的方程为（2）边上的中线所在的直线为直线为中点，由已知，得：，而，得：，所以直线的方程为，即.18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式:，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．试题解析：（1）由数据求得由公式求得再由 所以关于的线性回归方程为.（2）当时,,；同样,当时,,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.19.如图，四面体中，、分别是、的中点，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结，易知，根据线面平行的判定证结论；（2）法一：构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值；法二：由等体积法求到平面的距离，根据线面角定义，应用几何法求线面角正弦值.【小问1详解】连结，、分别是、的中点，∴，又平面，平面，∴平面. 【小问2详解】法一：连结，由，，则．由，，则．在中，由已知得，．而，故，∴，，面，∴平面．以、、分别为、、轴，建立如图所示的直角坐标系、、、设平面的法向量，由，则有，令，得又，所以，故直线与平面所成角的正弦值为；法二：设到平面的距离为，由，有，得，故直线与平面所成角的正弦值为.20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请求出甲船先停靠的概率 【答案】（1）这种规则是不公平的；理由见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件写出基本事件的个数及古典概型的计算公式，结合对立事件的概率公式即可求解；（2）因为时刻是连续变化的，故问题为几何概型，可设甲船到达的时刻为，乙船到达的时刻为，甲船先停靠为事件，则所有基本事件和随机事件所含有的基本事件都可以用平面区域的面积来度量，利用几何概型的计算公式即可求解.【小问1详解】这种规则是不公平的；设甲胜为事件，乙胜为事件，基本事件总数为种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有个：，，，，，,,,,,,,，∴甲胜的概率，乙胜的概率，∴这种游戏规则不公平．【小问2详解】设甲船先停靠为事件,甲船到达的时刻为，乙船到达的时刻为，，可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为，，这是一个正方形区域，面积，事件所构成的区域为，，这是一个几何概型，所以． 21.如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）连接，交于，连接，可证平面，结合可得.（Ⅱ）建立空如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，分别求半平面和的法向量，将求二面角问题转化为求法向量夹角处理．【详解】（I）连接，交于，连接，因为侧面为菱形，所以，且为与的中点．又，而，平面，所以平面，而平面，故，又,故．（II）因为，且为的中点，所以，又因为，，，故，由四边形为菱形，故即，故，故，从而两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以为等边三角形．又，不妨设，则，则，，，．,,．设是平面的法向量，则，故，取，则，故．设是平面的法向量，则，同理可取．则．而二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．22.已知圆心在轴上的圆与直线：切于点.圆 .（1）求圆的标准方程；（2）已知，圆与轴相交于两点，（点在点的右侧），过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于，两点.问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）设圆心的坐标为，根据圆与直线：切于点，由求解.（2）假设这样的存在，在圆中，令，求得M，N的坐标，然后设直线，与圆联立，再根据，由，结合韦达定理求解.【详解】（1）设圆心的坐标为，由点在直线上，知：.则，又，，所以，故，所以，即半径.所以圆的标准方程为.（2）假设这样的存在，在圆中，令，得：，解得：或，又由知，所以，.由题可知直线的倾斜角不为0，设直线：，，， 由，得，∵点在圆内部，∴恒成立，则，因为，所以，即，则，得，得，得，因为对任意的都要成立，所以，由此可得假设成立，存在满足条件的，且.