浙江省嘉兴八校联盟2020-2021学年高二下学期期中联考数学 Word版含解析.docx

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2020学年第高二年级二学期嘉兴八校联盟期中联考数学试卷考生须知：全卷分试卷和答卷，试卷共22小题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的虚部为A.B.C.1D.-1【答案】D【解析】【分析】根据复数虚部定义直接求出的虚部.【详解】由复数虚部定义可知的虚部为，故本题选D.【点睛】本题考查了复数的虚部定义，准确掌握复数的虚部定义是解题的关键.2.的展开式中的系数为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，令，得.因此，的展开式中的系数为.故选：B.3.用分析法证明“”时，正确的步骤是（）A.“，”B.“”C.“欲证，只需证”D.“因为，所以”【答案】C【解析】【分析】根据分析法的特点进行判断即可.【详解】解：用分析法证明“”时，正确的步骤是：“欲证，只需证”． 故选：C4.利用反证法证明“若，则中至少有一个不为0”时，应假设（）A.至多有一个为0B.都不为0C.不都为0D.都为0【答案】D【解析】【分析】“”的否定是“”【详解】假设要否定结论“中至少有一个不0”，即假设为“都为0”.故选:D【点睛】此题为基础题，考查“至多”、“至少”、“都不”、“不都”等逻辑词的含义.5.用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据数学归纳法的步骤求解即可.【详解】根据数学归纳法的推导可得，当时，当时.左边增加的代数式是.故选：A6.一质点做直线运动，若它所经过的位移与时间的关系为，设其在时间段内的平均速度为（）A.2B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可得到答案. 【详解】根据题意，质点在时间段内的平均速度为.故选：D.7.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的基本运算与复合导数的运算法则求解即可.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D错误.故选：B8.已知函数，若在定义域内任意，使得不等式恒成立，则实数m的最大值是（）A2B.-2C.1D.-1【答案】C【解析】【分析】把恒成立问题转化为求函数的最小值问题，求导，利用导数研究函数的单调性，求解最值即可.【详解】因为，，所以，，令得，令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，因为不等式恒成立，所以，所以实数m的最大值是1.故选：C9.若从1，3，5，7中选取两个数，从0，2，4，6，8中选取两个数，将这四个数组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的总个数为（）A.1296B.1320C.1440D.1524【答案】A【解析】【分析】分0是否被选中讨论：（1）0被选中，则0不能在千位；（2）0不被选中，先选数字，再排列.【详解】若0被选中，则不同四位数的个数；若0不被选中，则不同的四位数的个数．故不同的四位数的总个数为．故选：A【点睛】（1）计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合；（2）排数问题要分是否选0进行讨论，语文0不能放在最高位.10.已知为定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，若，则必有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，再求导根据题意可得单调性，进而可得在上为减函数，进而可得，化简即可得. 【详解】构造函数，则，因为，故，在上为减函数.又，则，故.故选：C二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第__象限，且___.【答案】①二②.1【解析】【分析】根据欧拉公式即可将化为，进而根据复数的几何意义和模长求解即可.【详解】由欧拉公式可得，故对应的点为，位于第二象限，且，故答案为：二，112.已知函数，则______，______.【答案】①.e②.1【解析】【分析】求导，代入即可求解.【详解】,由于，所以，故答案为：，113.（1）计算________（请用数字作答）．（2）已知，则实数x的值为____. 【答案】①.90②.4【解析】【分析】（1）根据排列数求解即可；（2）根据组合数的性质求解即可.【详解】（1）.（2），若，则解得；若，则，故.故答案为：90；414.已知的所有二项式系数之和为64，则______，______.【答案】①.6②.0【解析】【分析】利用二项式系数和公式求出，再利用赋值法求解系数和即可.【详解】因为的所有二项式系数之和为64，所以，所以，令，，所以，令，，即，所以.故答案为：；.15.若函数是上的增函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意知在上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于的不等式，进而可求其取值范围.【详解】解：由题意知，知在上恒成立，则只需，解得. 故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在上恒成立问题，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.16.已知复数，其中是虚数单位，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据复数的运算法则，结合共轭复数的定义、复数模的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此，故答案为：17.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.【答案】420【解析】 【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，所以④⑤共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，依次是15+14+15+15+15，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设复数，其中，当取何值时，（1）；（2）是纯虚数；（3）是零．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】根据实数、纯虚数、零的定义构造方程组求解即可.【小问1详解】若，则，解得：或.【小问2详解】 若是纯虚数，则，解得：.【小问3详解】若是零，则，解得：.19.已知函数（1）求该函数图像在点处的切线方程；（2）求函数在闭区间上的最值.【答案】（1）（2）最大值6，最小值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析函数的单调性与极值与最值即可.【小问1详解】，故求该函数图像在点处的切线斜率为，故求该函数图像在点处的切线方程为，即【小问2详解】令，解得，由时，令时，解得；令时，解得.故函数在区间上单调递减在区间上单调递增，或者列表格-102-0+0↓极小值↑6 ，故函数在闭区间上的最大值6，最小值20.设数列满足，，（1）求，的值，并猜想数列的通项公式；（2）利用数学归纳法证明上述猜想．【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意将和代入即可得到，的值，再根据规律即可猜想数列的通项公式.（2）根据数学归纳法先证明当时成立，再假设当时成立，由此证明当时成立即可.【小问1详解】因为数列满足，，，所以当时，，当时，．由此猜想数列的通项公式为．小问2详解】证明：用数学归纳法证明如下：①当时，，成立；②假设当时，成立，即，则当时，，成立，由①②，得：．21.已知函数（1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上不单调，求的取值范围.【答案】（1）极大值，极小值0（2）【解析】【分析】（1）求导分析导函数的正负与零点，列表分析求解即可；（2）求导令，得，，再根据题意确定极值点满足的范围求解即可.【小问1详解】当时，，故.令，解得或.当变化时，的变化情况如下表：1+0—0+↗极大值↘极小值↗，.【小问2详解】，令，解得，.当时，解得，所以若函数在区间上不单调，则，且或，解得或且.故的取值范围为.22.设函数（）．（1）若，求函数在处切线的斜率； （2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用切点处的导数值即可求解，（2）根据零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，进而根据函数的单调性即可求解最值，进而可求解.【小问1详解】当时，，则，所以处的切线的斜率【小问2详解】，由于在上递增，在上递减，故在单调递增，由于当时，，当时，，因此由零点存在性定理可知：当必有且只有一个根，使得，即，①两边取自然对数，所以②在上，递减；在上，递增，所以函数有最小值，由①②得所以，所以