湖南省部分学校（邵东市第三中学等）2023-2024学年高一下学期3月阶段性考试数学Word版含解析.docx

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湖南高一年级3月阶段性考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册第六章至第七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A.25B.5C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数模的运算性质求解.【详解】因为，所以，故选：B2.在中，内角所对的边分别为，则（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可.【详解】易知，由正弦定理得，化简得.故选：B第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 3.若，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，再由两角和的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故选：C4.已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（）A.6B.4C.8D.3【答案】A【解析】【分析】借助向量共线定理与基本不等式计算即可得.【详解】因为向量共线，所以，解得，又，所以，，当且仅当时，等号成立.故选：A.5.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】法一：由余弦定理，即有两个不相等的正根，则，即可求出的范围，再求出角的范围.法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系求出的范围.【详解】法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值，由余弦定理，即，依题意可得关于的方程有两个不相等的正根，则，解得，又，解得，综上可得.法二：由正弦定理，所以，所以，则，由且，所以，所以由，解得，综上可得.故选：A6.已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 A.7B.C.D.【答案】D【解析】【分析】借助投影向量定义可计算出，结合向量模长公式计算即可得.【详解】由题意可得，向量在向量上的投影向量为，则，解得，则，故．故选：D.7.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先比较与的大小，即可得到，再比较与的大小，即可得到，从而得到，即可判断.【详解】因为，，所以，则，即，因为，，所以，所以，则，即，又，所以，所以.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 故选：D8.如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影.某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上的，，三处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度（）A.米B.米C.米D.米【答案】B【解析】【分析】设米，即可表示出、、，在、中利用余弦定理表示出、，即可得到方程，解得即可.【详解】由题意可知，，，，设米，则在中，米，在中，米，在中，米，在中，由余弦定理可得，即，即，在中，由余弦定理可得，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 即，即，则，解得或（舍去）.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则下列命题是真命题的是（）A.的虚部为B.为纯虚数C.若与复数相等，则D.在复平面内对应点位于第一象限【答案】AD【解析】【分析】首先化简复数，再根据复数的概念及复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，所以，则的虚部为，故A正确；又，所以不是纯虚数，故B错误；若与复数相等，则，解得，故C错误；复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.故选：AD10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 A.B.函数为奇函数C.在上单调递增D.的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，所以，所以，解得，又，所以，所以，故A错误；因为，所以函数为奇函数，故B正确；当时，又在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；因为，所以的图象关于直线对称，故D正确.故选：BCD第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 11.在平行四边形中，，，，点从出发，沿运动，则下列结论正确的是（）A.当点在线段上运动时，的值逐渐增大B.当点在线段上运动时，的值先减小，再增大C.当点在线段上运动时，的值逐渐减小D.的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】取中点，连接、、，作、，垂足分别为、，求出，，，，再根据数量积的运算律得到，最后再结合各选项对的位置分类讨论，分别计算可得.【详解】如图，取的中点，连接、、，作、，垂足分别为、，因为，，，所以，，由余弦定理可得，，又，，所以，当点在线段上运动时，先减小，再增大，所以的值先减小，再增大，故A错误；当点在线段上运动时，先减小，再增大，所以的值先减小，再增大，故B正确；第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 当点在线段上运动时，的值逐渐减小，所以的值逐渐减小，故C正确；当点在处时，所以，当点在处时，所以，当点在处时，所以，当点在或处时，所以，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题关键是得到，再对点的位置进行分析.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.已知函数，则_________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据分段函数解析式及指数、对数的关系计算可得.【详解】因为，又，所以，又，所以故答案为：；13.若复数，则_________.【答案】【解析】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数乘方法则计算可得.【详解】因为，又，，，所以，所以.故答案为：14.以密位作为角度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如5密位写成“”，235密位写成“”，1246密位写成“”.1周角等于6000密位，写成“”.在中，点在边上，是的内角的角平分线，，则用密位制表示为__________.【答案】【解析】【分析】根据角平分线的性质得到，设，则，在、中分别利用余弦定理表示出、，再由求出，即可求出，从而得到，再化成密位制.【详解】因为是的内角的角平分线，所以，所以，所以，设，则，在中，由余弦定理可得，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 即，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，又，所以，所以，即用密位制表示为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知向量，，．（1）若，，求的值；（2）若，求与的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助平面向量基本定理与坐标运算计算即可得；（2）借助向量垂直可得数量积为0，结合向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】因为，所以，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，解得，所以；【小问2详解】因为，所以，即，解得，所以，故．16.在中，已知，为上一点，，且.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面积.小问1详解】，，则，在中，，所以.在中，，，所以.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 故.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，即，解得，，则.故的面积为.17.如图，在中，，，，且，，与交于点.（1）用，表示，；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得；（3）依题意为向量与的夹角，求出，，再由夹角公式计算可得.【小问1详解】第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 因为，，所以，，所以，；【小问2详解】因为，，，所以，所以.【小问3详解】依题意为向量与的夹角，又，，所以.18.在中，角，，的对边分别是，，，且.（1）求的大小；（2）设的中点为，且，求的取值范围.【答案】（1）第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得到，再由辅助角公式计算可得；（2）设，则，则，利用正弦定理表示出、，从而转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，所以，即，则.因为，所以，即，所以，又，所以，所以，解得.小问2详解】设，则，则，根据正弦定理可得，所以，，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 所以，由，得，所以，故的取值范围为.19.已知函数，为常数.（1）证明：的图象关于直线对称.（2）设在上有两个零点，.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平方关系将函数变形为，再计算即可证明；（2）（ⅰ）令则，问题转化为关于的方程在第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 上有两个不相等实数根，即可得到，从而求出参数的取值范围；（ⅱ）令，，根据韦达定理得到，将两边平方可得，再结合函数的单调性即可证明.【小问1详解】因为，因为，所以的图象关于直线对称.【小问2详解】（ⅰ）令，因为，所以，则，则，，因为在上单调递减，所以关于的方程在上有两个不相等实数根，所以，解得，即的取值范围为.（ⅱ）令，，则，为关于的方程的两根，所以，，所以，所以，即，第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，所以，由于，，所以，则，即，又在上单调递减，所以，即.【点睛】关键点点睛：第一问关键是推导出，第二问关键换元，将问题转化为一元二次不等式在给定区间上有两解问题.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司