《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）.docx

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《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）专题01《二次根式》选择、填空重点题型分类专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中”二次根式的定义”、”二次根式有意义的条件”、”最简二次根式”、”分母有理化”、”同类二次根式”选择、填空重点题型;适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用.考点1：二次根式的定义方法点拨：一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,””称为二次根号．二次根式的两个要素：①根指数为2;②被开方数为非负数.1．在式子(x＞0),,,,(x＞0)中,二次根式有()A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】C【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地,形如的代数式叫做二次根式,其中．【详解】解：式子(x＞0),,,,(x＞0)中,二次根式有：(x＞0),,,共3个．故选：C．【点睛】此题考查了二次根式的定义,解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地,形如的代数式叫做二次根式,其中．2．已知二次根式,当x＝1时,此二次根式的值为()A．2B．±2C．4D．±4【答案】A【分析】将x取值代入二次根式求值即可．【详解】解：当x＝1时,原式＝,故选：A．【点睛】本题考查二次根式的计算,注意算数平方根开出来是正数,这一点是本题关键．3．下列式子中,一定属于二次根式的是()A．B．C．D．【答案】D21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【分析】根据二次根式的定义,被开方数大于等于0进行判断即可得到结果．【详解】解：A、被开方数为非负数,所以A不合题意;B、x≥﹣2时二次根式有意义,x＜﹣2时没意义,所以B不合题意;C、为三次根式,所以C不合题意;D、满足二次根式的定义,所以D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次根式的定义,注意选项中各式的形式及未知数取值范围是解本题的关键．4．当时,二次根式的值等于()A．4B．2C．D．0【答案】B【分析】把代入解题即可【详解】解：把代入得,故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质,能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．5．已知,那么a应满足什么条件()A．a＞0B．a≥0C．a＝0D．a任何实数【答案】B【分析】分别求出与的被开方数中a的取值范围即可得到答案.【详解】∵的被开方数a的取值范围是,的被开方数中a的取值范围是任意实数,故a应满足的条件是,故选：B.【点睛】此题考查二次根式的性质：双重非负性,二次根式的被开方数满足大于等于零的条件.6．我们把形如(a,b为有理数,为最简二次根式)的数叫做型无理数,如是型无理数,则是()A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数【答案】B21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算,再得出选项即可．【详解】解：=2+6+4=8+4,即型无理数,故选：B．【点睛】此题考查完全平方公式和二次根式的性质,能正确根据公式和性质展开是解题的关键．7．如果x＝1是关于x的方程＝x的一个实数根,那么k＝_____．【答案】0【分析】先把x＝1代入方程,两边平方求出k的值．【详解】解：把x＝1代入方程,得＝1,两边平方,得1+k＝1,解得k＝0．经检验,k＝0符合题意．故答案为：0．【点睛】本题考查了方程的解,熟练掌握方程解的定义是解题的关键．8．(a+6)2+＝0,则2b2﹣4b﹣a的值是_____．【答案】0【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程,进一步即可求出a和b2﹣2b的值,然后代入所求代数式进行计算即可．【详解】解：由题意得,a+6＝0,b2﹣2b+3＝0,解得：a＝﹣6,b2﹣2b＝﹣3,∴2b2﹣4b﹣a＝2(b2﹣2b)﹣a＝2×(﹣3)﹣(﹣6)＝﹣6+6＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了完全平方式和二次根式的非负性,属于常考题型,熟练掌握基本知识是关键.考点2：二次根式有意义的条件方法点拨：(1)对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零.(2)对于二次根式有意义的条件被开方数互为相反数的题型,21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）关键是被开方数中找出一对相反数,利用二次根式的被开方数是非负数求解即可.1．下列结论中,对于任何实数a、b都成立的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】根据二次根式运算的公式条件逐一判断即可．【详解】∵a≥0,b≥0时,,∴A不成立;∵a＞0,b≥0时,,∴B不成立;∵a≥0时,,∴C不成立;∵,∴D成立;故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质,熟练掌握公式的使用条件是解题的关键．2．若x,y为实数,且y＝2+,则|x+y|的值是()A．5B．3C．2D．1【答案】A【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值,故可求出y的值,故可求解．【详解】依题意可得解得x=3∴y=2∴|x+y|=|3+2|=5故选A．21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【点睛】此题主要考查二次根式的性质应用,解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．3．设x,y为实数,且y＝6+,则|﹣x+y|的值是()A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式,求出x,代入y＝6+求出y,把x、y的值代入|﹣x+y|计算．【详解】解：∵,∴,∴x＝4．∴y＝6,∴|﹣x+y|＝|﹣4+6|＝2;故选：B．【点睛】此题主要考查二次根式的性质与求解,解题的关键是熟知二次根式的非负性．4．若有意义,则()A．B．C．D．【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．【详解】依题意可得2x+3≥0解得故选A．【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件,解题的关键是熟知被开方数为非负数．5．若二次根式有意义,则下列各数符合要求的是()A．8B．9C．10D．4【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得出根号内的数大于等于0,再求出x范围,再对四个选项依次判断．21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【详解】∵有意义所以7-x∴A项：8>7,故A项不符合题意;B项：9>7,故B项不符合题意;C项：10>7,故C项不符合题意;D项：4<7,故D项符合题意故选D【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数非负是本题关键．6．如果有意义,那么x的取值范围是___．【答案】【分析】由有意义,结合两数相除：同号得正,异号得负,列不等式再解不等式即可得到答案.【详解】解：有意义,解得：故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握”二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键.7．已知a、b满足,则的值为______．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式,求出a,进而求出b,根据有理数的乘方法则计算即可．【详解】解：由题意得：3-a≥0,a-3≥0,解得：a=3,则b=-5,∴b3=(-5)3=-125,故答案为：-125【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．8．在中,自变量的取值范围是______．【答案】x≥321 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可以求出的范围．【详解】解：中,所以,故答案是：．【点睛】本题考查了求函数自变量的范围,解题的关键是掌握一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负．9．若a,b满足b＝﹣3,则平面直角坐标系中P(a,b)在第___象限．【答案】四【分析】根据二次根式有意义的条件(被开方数是非负数)可得a的值,进而得出b的值,再根据各个象限的点的坐标特征判断即可．【详解】解：∵a,b满足b＝﹣3,∴,解得a＝2,∴b＝﹣3,∴P(a,b)为P(2,﹣3)在第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及平面直角坐标系中点的坐标特征,根据题意得出的值是解本题的关键．10．已知a,b都是实数,,则代数式的值为______．【答案】-2.5【分析】先根据二次根式有意义的条件求解a,从而确定出b,代入求解即可．【详解】解：∵有意义,∴,21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）∴,∴,把代入得∴,故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和代数式求值,理解被开方数为非负数是解题关键．考点3：最简二次根式方法点拨：最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母,因式是整式;(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.1．下列二次根式中属于最简二次根式的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母,分母中不含根号,且被开方数不含能开的尽方的因数,判断即可．【详解】解：A、,不符合题意;B、,不符合题意;C、,不符合题意;D、是最简二次根式,符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了最简二次根式,熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．2．下列二次根式中,是最简二次根式的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义去判断即可．21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【详解】∵含有分母,∴不是最简二次根式,故A不符合题意;∵=含有开方不尽的因数,∴不是最简二次根式,故B不符合题意;∵=含有开方不尽的因数,∴不是最简二次根式,故C不符合题意;是最简二次根式,故D符合题意;故选D．【点睛】本题考查了最简二次根式即被开方数中的每一个因数的指数都小于根指数2,正确理解最简二次根式的定义是解题的关键．3．在、、、、中,最简二次根式的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】由题意根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母以及被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行分析判断即可．【详解】解：∵、、,不是二次根式,∴最简二次根式为,共计1个.故选：A.【点睛】本题考查最简二次根式的判断,在判断最简二次根式的过程中要注意：(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式．4．把化成最简二次根式,正确结果是()．A．B．C．D．【答案】D【分析】将看成整体,进行符号变换,然后进行二次根式化简就即可．【详解】解：因为,故,∴,∴故选：D．【点睛】题目主要考查二次根式的化简,掌握题目中符号的变换是解题关键．5．下列二次根式化成最简二次根式后,被开方数与另外三个不同的是()A．B．C．D．【答案】C【分析】将各选项化为最简二次根式,即可判断求解．【详解】解：∵是最简二次根式,,,,∴化成最简二次根式后,被开方数与另外三个不同的是．故选：C【点睛】本题考查了最简二次根式的化简,熟练进行二次的化简是解题关键．6．写出一个最简二次根式a,使得,则a可以是______．【答案】(答案不唯一)【分析】由题意根据最简二次根式的定义进行分析可得答案．【详解】解：由可得,所以a可以是.故答案为：(答案不唯一).【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义(被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;被开方数的因数是整数,因式是整式.那么,这个根式叫做最简二次根式),注意掌握并利用最简二次根式进行分析．21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）7．将化简成最简二次根式为_________．【答案】【分析】根据二次根式的化简方法求解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的化简方法,解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法．8．化简：化成最简二次根式为______．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可得答案．【详解】解：∵,∴,∴,故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质以及最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9．化简：________;________．【答案】【分析】本题重点考查的是二次根式的化简,带分数化简时先将带分数化成假分数,再进行开平方化简;字母化简时首先判断字母的正负,再利用开平方化简．【详解】解：∵,∴;∵,∴,∴21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）故答案为：;．【点睛】掌握二次根式的基本性质与化简,二次根式的非负性是化简含字母问题的关键．10．已知最简二次根式与的被开方数相同,则的值是_________．【答案】2【分析】满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：由题意得,,由①得,③把③代入②得解得把代入③得,故答案为：2．【点睛】本题考查最简二次根式、同类二次根式,涉及二元一次方程组的解法、已知字母的值求代数式的值等知识,是基础考点,掌握相关知识是解题关键．考点4：分母有理化方法点拨：(1)自乘法：利用()×()=a(2)公式法：利用平方差(a+b)(a-b)=a²-b²1．当a=,b=时,代数式的值是()A．B．C．1D．2【答案】D【分析】先将化简,再将代入代数式,即可求解．21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【详解】解：∵,∴,∵a=,∴．故选：D【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算法则是解题的关键．2．如图,数轴上与1,对应的点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则化简得()A．2B．2C．2＋D．3【答案】C【分析】首先根据对称的性质即可确定x的值,代入所求代数式进行化简变形即可;【详解】解：∵点B关于点A的对称点为点C,∴AB＝AC．∴,解得：,∴点C表示的数x为,∴,,∴,故选择：C．【点睛】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．3．已知：a＝,b＝,则a与b的关系是()A．a－b＝0B．a＋b＝0C．ab＝1D．a2＝b2【答案】C21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【分析】先分母有理化求出a、b,再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值,即可得出选项．【详解】解：分母有理化,可得a=2+,b=2-,∴a-b=(2+)-(2-)=2,故A选项错误,不符合题意;a+b=(2+)+(2-)=4,故B选项错误,不符合题意;ab=(2+)×(2-)=4-3=1,故C选项正确,符合题意;∵a2=(2+)2=4+4+3=7+4,b2=(2-)2=4-4+3=7-4,∴a2≠b2,故D选项错误,不符合题意;故选：C．【点睛】本题考查了分母有理化的应用,能求出每个式子的值是解此题的关键．4．已知三个数2,,4如果再添加一个数,使这四个数成比例,则添加的数是()．A．B．或C．,或D．,或【答案】D【分析】运用比例的基本性质,将所添的数当作比例式a：b=c：d中的任何一项,进行计算即可,【详解】设添加的这个数是当时,,解得,当时,,解得,当时,,解得,当时,,解得．故选D．【点睛】本题考查比例的基本性质,注意写比例式的时候,一定要按照顺序写,顺序不同,结果不同.5．的有理化因式是___．【答案】【分析】根据有理化因式的定义(两个根式相乘的积不含根号)即可得答案．【详解】解：因为,所以的有理化因式是,故答案为：．21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【点睛】本题考查了有理化因式,熟练掌握有理化的方法是解题关键．6．的有理化因式可以是___．【答案】【分析】利用平方差公式进行有理化即可得．【详解】解：因为,所以的有理化因式可以是,故答案为：．【点睛】本题考查了有理化因式,熟练掌握有理化的方法是解题关键．7．分母有理化_______．【答案】【分析】分子,分母同乘以,利用平方差公式化简解题．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查分母有理化,涉及平方差公式,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键．8．代数式,当x＝时,则此代数式的值是_______．【答案】【分析】直接把x的值代入,利用分母有理化的法则计算即可求解．【详解】解：∵x＝,∴．故答案为：．【点睛】本题考查了代数式的求值,掌握分母有理化的计算法则是解题的关键．9．比较大小_______．【答案】<21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【分析】先利用分母有理化比较它们的倒数的大小,从而得到它们的大小关系．【详解】解：∵,,而,∴,∴<．故答案为：<．【点睛】本题考查了分母有理化,以及实数大小比较,熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．规定,则的值是_________．【答案】【分析】根据规定列出算式,再分母有理化,利用乘法公式计算．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．【点睛】此题属于新定义运算,考查了二次根式的运算,熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．考点5：同类二次根式方法点拨：判断是否是同类二次根式,一定要化简到最简二次根式后,看被开方数是否相同,再判断.如与,由于=,与显然是同类二次根式.1．下列式中,与是同类二次根式的是()A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式,再看看被开方数是否相同即可．【详解】解：A、,即化成最简二次根式后被开方数相同(都是5),所以是同类二次根式,故本选项符合题意;B、最简二次根式和的被开方数不相同,所以不是同类二次根式,故本选项不符合题意;21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）C、,即化成最简二次根式后被开方数不相同,所以不是同类二次根式,故本选项不符合题意;D、,即化成最简二次根式后被开方数不相同,所以不是同类二次根式,故本选项不符合题意;故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义,能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．2．若最简二次根式与是同类二次根式,则的值为()A．2B．4C．-1D．1【答案】D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．【详解】解：由题意,得：1+2a=3,解得a=1,故选：D．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义,即：二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．3．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式,则a的值是()A．a＝1B．a＝－1C．a＝2D．a＝－2【答案】A【分析】两个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,则称它们是同类二次根式,根据此定义即可得到关于a的方程,从而可求得a的值．【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式∴a+1=2a解得：a=1故选：A【点睛】本题考查了同类二次根式,掌握同类二次根式的概念是关键．4．若最简二次根式与最简二次根式的被开方数相同,则m的值为()A．6B．5C．4D．3【答案】D21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【分析】根据最简二次根式的被开方数相同,列方程求解即可．【详解】解：根据题意得：3m﹣6＝4m﹣9,∴﹣m＝﹣3,∴m＝3,故选：D．【点睛】此题考查了二次根式的性质,解题的关键是根据题意正确列出方程．5．已知方程+3＝,则此方程的正整数解的组数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先把化为最简二次根式,由+3＝可知,化为最简根式应与为同类根式,即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【详解】解：∵＝10,x,y为正整数,∴,化为最简根式应与为同类根式,只能有以下三种情况：．∴,,,共有三组正整数解．故选：C．【点睛】本题考查同类二次根式的概念,同类二次根式是化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．6．将下列根式化成最简二次根式后,被开方数与的被开方数相同的是　　()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意先将各数化为最简二次根式后即可判断．【详解】A.=与的被开方数不相同,故该选项错误;B.=5,与的被开方数相同,故该选项正确;C.=与的被开方数不相同,故该选项错误;21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）D.=与的被开方数不相同,故该选项错误.故选B.【点睛】本题考查同类二次根式的概念,解题的关键是正确理解同类二次根式的概念,本题属于基础题型．7．已知最简二次根式与是同类二次根式,则x的值为______．【答案】【分析】先根据二次根式的性质化简,进而根据最简二次根式、同类次根式即可求得的值．【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式,又∴解得故答案为：【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义,掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式．8．已知最简根式与是同类根式,则的值为___________．【答案】【分析】根据同类根式的定义可得方程组,求解即可．【详解】解：∵最简根式是同类根式∴解得,.∴故答案为：．【点睛】本题考查了同类根式的概念：根指数与被开方数相同,根据概念列出方程组是解答本题的关键．9．已知最简二次根式和是同类二次根式,则____．【答案】21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）【分析】根据同类二次根式的定义,通过列方程组并求解,即可得到a、b的值,从而完成求解．【详解】∵最简二次根式和是同类二次根式∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、二元一次方程组的知识;解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、二元一次方程组的性质,从而完成求解．21 《二次根式》专题练习：选择、填空重点题型分类（解析版）21