江西省赣州市六校联盟2022-2023学年高二下学期5月联合测评数学 Word版含解析.docx

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2023年高二5月联合测评卷数学试题考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列中，，则的值为（）A.48B.72C.147D.192【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质即可求解.【详解】数列是等比数列，则，，故．故选：C．2.某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，则（）A.0.14B.0.22C.0.23D.0.26【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解.【详解】因为数学考试成绩服从且，所以， 又因为，所以．故选：B3.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为，，，所以向量，，均与向量，共面．故选：C4.已知命题：直线与平行，命题，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题等价于或，结合充分不必要条件的判断即可求解.【详解】直线与平行，则，解得或，所以命题等价于或，命题．则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．故选：A．5.已知，则（） A0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求导函数，把代入求得，然后求得.【详解】由已知，则，即，所以．故选：D．6.如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（）A.3B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，则，由双曲线的定义得，，根据，列出方程求得，在直角中，利用勾股定理求得，进而求得双曲线的渐近线．【详解】设，则，由双曲线的定义得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即， 整理得，则，双曲线的渐近线斜率为．故选：B．7.已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（）A.B.C.2023D.【答案】A【解析】【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，进而即得.【详解】令，得.又因为，所以.由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.故选：A.8.已知实数满足，则的最小值为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用转化思想，将代换，代换，则，满足：，即 ，再以代换，可得点，满足．因此求的最小值，即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方．利用导数的几何意义，研究曲线和直线平行的切线性质即可得出答案．【详解】解：代换代换，则满足：，即，以代换，可得点，满足.因此求的最小值，即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方.设直线与曲线相切于点，，则，解得，切点为.点到直线距离，则的最小值为.故选B.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.在上单调递减 C.在处取得极小值D.在处取得极大值【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.【详解】当时，单调递增，由图可知时，，单调递增，故A正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极小值，故C正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极大值，故D正确.故选：ACD.10.在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（）A.服从二项分布B.服从超几何分布C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC,由超几何分布的期望计算即可判断D. 【详解】依题意，等差数列公差，则通项为，由得，即等差数列前10项中有6个正数，的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数，因此，不服从二项分布，服从超几何分布，不正确，B正确；错误；由题正确．故选：．11.已知数列满足，其中，为数列的前项和，则下列四个结论中，正确的是（）A.数列的通项公式为：B.数列为递减数列C.D.若对于任意的都有，则【答案】BC【解析】【分析】先求出，根据前项和与项关系，推得时，，检验，即可得出通项公式，判断A项；作差法，即可判断数列的单调性；裂项可得，求和即可得出；由C项，可知，即可判断D项.【详解】对于A项，由可得：当时，； 当时，有，，两式相减得：，即.当时，满足，综上所述：，故A项错误；对于B项，，当时恒成立，故，即数列为递减数列，故B项正确；对于C项，因为，所以，故C项正确；对于D项，因为对任意恒成立，故，所以对于任意的都有，则，故D项错误.故选：BC.12.已知函数是其导函数，恒有，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】令，求导后可判断函数为增函数，利用单调性可依次判断各选项. 【详解】由题意得：令，于是其导数．又函数是其导函数，恒有，即，所以，即函数为增函数．对于选项A：由，有，即，于是，故A正确；对于选项B：由，有，即，于是，故B正确；对于选项C：由，有，即，于是，无法比较与的大小关系，故C错误；对于选项D：由，有，即，于是，即，故D正确.故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知、的对应值如下表所示：02468111若与线性相关，且回归直线方程为，则_______．【答案】 【解析】【分析】求出、，根据回归直线方程经过样本中心点，代入计算可得.【详解】由表可知，，因为回归直线方程经过样本中心点，所以，解得．故答案为：．14.将甲、乙、丙、丁四人排成一行，其中甲不排第一，乙不排第二，丙不排第三，丁不排第四，满足要求的不同排法有______种．【答案】【解析】【分析】按照分步乘法原理分步骤进行安排即可得答案.【详解】甲不排第一，所以第一个位置排乙、丙、丁有3种情况，如果第一个位置排乙，不论二、三、四哪个位置安排甲，丙、丁也就确定了，也对应于3种情况，根据乘法原理可得不同的排法有（种）.故答案为：.15.设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质化简计算作答.【详解】等差数列，的前n项和分别为，，所以.故答案为：16.若关于x的不等式恒成立，则的最小值是________________. 【答案】【解析】【分析】由函数的定义域进行参变分离可得恒成立，设，利用导数求函数的最大值，即可求出的最小值.【详解】由于，则原不等式可化为，设，则，当时，，递增；，，递减，可得在处取得极大值，且为最大值.所以，则a的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了函数的导数等基础知识，考查抽象概括、运算求解等数学能力，考查化归与转化、数形结合等思想方法.本题的关键是将不等式恒成立问题转化成求函数的最值问题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数在处取得极值-14.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的最值.【答案】（1）（2）最小值为-14，最大值18【解析】【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程.（2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值.【小问1详解】因，故由于在处取得极值-14，故有，化简得，解得， 经检验，时，符合题意，所以.则，，故.所以曲线在点处的切线方程为：，即【小问2详解】，，解得或；解得，即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，，因此在的最小值为.最大值为18.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行．足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲参加点球测试，他每次点球成功的概率均为．现他有3次点球机会，并规定连续两次点球不成功即终止测试，否则继续下一次点球机会．已知甲不放弃任何一次点球机会．（1）求甲恰好用完3次点球机会的概率；（2）甲每次点球成功一次，可以获得50积分，记其获得的积分总和为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，85.2【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解即可；（2）由题意可得的所有可能取值为，然后求出各自对应的概率，从而可求出的分布列和数学期望．【小问1详解】设事件：恰好用完3次机会，事件：前2次均不成功，依题意得，．【小问2详解】易知的所有可能取值为， ，，，，所以的分布列为050100150所以19.已知正项数列满足．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用数列递推式的性质，结合作差法即可求得；（2）结合（1）中结论，利用错位相减法求得，由此得证.【小问1详解】因为，当时，， 因为，所以，当时，，两式相减得，，因为，所以，经检验，上式对于也适合，所以的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，所以，，两式相减得，所以，由于，显然，所以.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，． （1）点M在线段PC上，，求证：平面MQB；（2）在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用，可得，进而可得，从而根据线面平行的判断定理即可证明；（2）在平面内作于，证明平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，设直线和平面所成角为，利用向量法即可求解.【小问1详解】证明：连接交于，连接，因为，所以，所以，所以，又，所以，因为平面，平面，所以平面MQB； 【小问2详解】解：连接，由题意，都是等边三角形，因为是中点，所以，又，所以平面，，在中，，所以，在平面内作于，则，由平面，所以，又，所以平面，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 由，可得，所以，设平面的法向量,则，可取，则，直线的方向向量，设直线和平面所成角为，则，所以，即直线和平面所成角的余弦值等于.21.已知函数，（其中）．（1）讨论的单调性；（2）对于任意，都有成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）先求出，再讨论，，和时导数的正负及函数的单调性；（2）由对于任意，都有成立等价于对于任意，，构造，其中，由导数求出的最大值，即可得出的取值范围．【小问1详解】因为函数，其中，所以，令，得或，当时，，故函数在单调递增，当时，当时，，当时，， 故函数在和上单调递增，在上单调递减，当，即时，当时，，当时，，故函数在和上单调递增，在上单调递减，当，即时，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，函数在单调递增，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】对于任意，都有成立对于任意，，即对于任意，对于任意，，设，其中，则，因为，所以，所以，所以在单调递增，所以，所以，即．22.已知的两顶点坐标． （1）求动点的轨迹的方程；（2）不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由椭圆的定义即可判断轨迹为椭圆，即可由椭圆的性质求解方程.（2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理，结合斜率公式可得直线经过定点，进而由面积公式，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】由，所以，因此动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且去掉椭圆与轴的交点，设椭圆的标准方程为，则，解得，所以动点的轨迹的方程为．小问2详解】由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，点，把代入椭圆方程可得：， ，化为．，直线关于轴对称，，即，且，则，即，所以，化简得，所以，故直线经过定点．令，由于在上单调递增，所以，故因此，．【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.