浙江省台州市第一中学2022-2023学年高一上学期科学素养测评数学Word版含解析

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2022年学科素养测评数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置.）1.用4根长度均为1米的铁丝，分别围成下列图形，则面积最大的是（）A.正方形B.正三角形C.正六边形D.圆【答案】D【解析】【分析】分别计算这四个图形的面积，然后比较即可.【详解】因为正方形的周长为1，所以正方形的边长为，所以正方形的面积为，因为正三角形的周长为1，所以正三角形的边长为，所以正三角形的面积为，因为正六边形的边长为1，所以正六边形的边长为，所以正六边形的面积为，因为圆的周长为1，所以圆的半径为，所以圆的面积为，因为，，，，所以最大，即圆的面积最大，故选：D2.下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂运算法则进行计算.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B错误；

1C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：C3.如图，在正方形中，是的中点，在上，，连接、与对角线交于点、，连接、，给出结论：①；②；③；④其中正确的个数有（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】假设正方形边长为6，建立合适的平面直角坐标系，分别求出点，由点的坐标分别求得所在的直线方程及所在的直线方程，联立方程求得两点坐标，由向量的数量积求得即可求得，再由向量的坐标运算求得，可判断，再由向量的数量积求得即可计算，由向量的模长公式或两点之间的距离公式分别求得的长度即可求得的值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，并假设正方形的边长为6，则，

2可知所在直线方程为：，所在的直线方程为：，所在的直线方程为：，联立解得；联立解得；对于①，则正确；对于②，则正确；对于③，则正确；对于④，，，则，④错误.故选：B.4.若，，且满足，，则的值为（）.A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，解得，再代回已知等式求出，可得的值.【详解】由，，得，即，解得，

3把代入，得，即，两边平方得，由得，则.故选：C5.在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数图像的特点进行判断即可.【详解】时，反比例函数的图像经过二、四象限，一次函数的图像经过二、三、四象限，没有选项符合；时，反比例函数的图像经过一、三象限，一次函数的图像经过一、二、三象限，C选项符合；故选：C6.已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上，这条抛物线的解析式是（）

4A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先写出二次函数的顶点坐标，然后消去即可求解.【详解】二次函数的顶点坐标为，设，，所以，代入，得，即所求抛物线的解析式为.故选：A.7.如图，在中，，给出下列三个结论：①；②；③当时，.其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D

5【解析】【分析】先根据，得出AO⊥BD，再设出设∠DBC＝x度，则由△DBC的内角和为180°得出x的值，即可求出答案；【详解】因为，所以，①正确；连接OB，OD，延长AO与BD交于点E，如图所示：∴AB＝AD，因为AO是半径，OB＝OD，∴△ABO≌△ADO（SSS），∴∠DAO＝∠BAO，又AB＝AD，∴AE⊥BD，即AO⊥BD，②正确；因为所以∴∠C＝2∠DBC，设∠DBC＝x，则∠C＝2∠DBC＝2x，由△DBC的内角和为180°得：3x+30°＝180°，解得：x＝50°，∴∠C＝100°，∴∠DAB＝80°，③正确；即正确的个数是3，故选：D．8.温州市“瓯海杯”足球联赛有A、B、C、D四个足球队进行循环比赛（即每队都与其他队赛一场），赛了若干场后，由于不小心D队数据被墨水污染，A、B、C三队的比赛情况如下表所示，请推测D

6队共进了（）个球.场数胜负平进球失球A320120B210143C202036DA.0B.3C.6D.8【答案】D【解析】【分析】比赛是两两进行的，所以比赛的总场次为偶数次，据此分析D的比赛场次，进行枚举即可.【详解】4队比赛的总场次为偶数次，A、B、C共赛了3+2+2=7次，所以D比赛的场次为1次或者3次.四队的胜负场次应该要相等，胜场场次2+1+0=3场，负场场次0+0+2=2场，3-2=1，所以D队的负场场次比胜场场次多一场，即0胜1负或者1胜2负或者1负2平.4队进球失球数应该相等，2+4+3=0+3+6，所以D队的进球失球数相等，(1)若D队赛一场，则只能0胜l负，则D队进球失球数不相等，舍去，(2)若D队赛三场，比分为1胜2负者1负2平，①若结果为1负2平，由ABC三队的胜负统计，不可能出现，舍去，②若结果为1胜2负，则D队的进球失球数可能相等，故D赛了3场，且为1胜2负，由已知可得：A未负，则A胜D，C未胜，则D胜C，那么B胜D.A两胜，进球两个，故都是1比0；BC之间未赛过，则BC进球都是进的D，D队共失1+4+3=8球，也应该进8球，故选：D二、填空题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分.请将答案填在答题卷的相应位置.）9.分解因式：______.【答案】【解析】

7【分析】利用，前三项结合，后两项结合，先分别分解因式，再提取公因数即.【详解】，故答案为：.10.已知、是方程的两根，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意得到，，结合韦达定理化简得到.【详解】由题意得，，故，则，由韦达定理可得，所以.故答案为：-211.如图，在直角三角形中，，.点是半圆弧的中点，连接，线段把图形分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是______.【答案】4【解析】【分析】设半圆的圆心为，连接，设交于点，在上取点，使，连接

8，可得将图形分成两部分的面积之差的绝对值等于面积的2倍，从而可求得答案.【详解】设半圆圆心为，连接，设交于点，在上取点，使，连接，因为点是半圆弧的中点，所以，因为，公共边，所以≌，所以图形与图形的面积相等，因为，所以，所以，所以将图形分成两部分的面积之差的绝对值等于的面积，即面积的2倍，因为在中，，所以，所以将图形分成两部分的面积之差的绝对值为4，故答案为：412.如图，在中，是高，为平分线.若，，，则的长等于______.

9【答案】##【解析】【分析】先根据勾股定理与勾股定理逆定理得，再作于，由等腰三角形的性质即可求得的长.【详解】在中，，中，，由图可得，所以，所以，如图，过作于又，则，设，得，由，可得，所以，即，解得所以.故答案：.13.若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是，即三角形的一边是，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有

10，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定的范围．【详解】解：方程有三根，，有根，方程的，得．又原方程有三根，且为三角形的三边和长．有，，而已成立；当时，两边平方得：．即：．解得．．故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．14.如图，等腰三角形的三个顶点分别落在反比例函数与的图象上，并且底边经过原点，则______.【答案】【解析】【分析】过作轴于，过作轴于，根据反比例函数的图象的对称性可得，根据等腰三角形的三线合一可证明，由相似三角形的性质与反比例函数的几何性质可得，由勾股定理得出，从而可得结论.

11【详解】连接，过作轴于，过作轴于因为的图象关于原点对称，所以又因为等腰三角形得底边为，所以，所以，因为，，所以所以，所以，则因为顶点在函数上，所以，所以，即在中，，所以.故答案为：.15.已知点的坐标分别为，，若二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】结合零点存在定理以及判别式，分成两种情况进行讨论：①当二次函数与轴有两个交点时；②当二次函数与轴仅有一个交点时.【详解】①当二次函数与轴有两个交点时，如图1，因为二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，的坐标分别为，，

12所以，解得.由，得，此时，符合题意.由，得，此时，不符合题意.所以.②当二次函数与轴仅有一个交点时，如图2，令，由得，当时，，不合题意；当时，，符合题意.综上，的取值范围是或.故答案为：或.16.规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由已知在同一坐标系中分别画出与的图象，数形结合确定最低点位置，再联立方程组求解即可．【详解】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图，

13两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或（舍去），所以的最小值为．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，求的值.【答案】【解析】【分析】设中个1，个，由题意列出方程求出，再将代入求解即可.【详解】解：设中个1，个，其它都是，有，解得，∴原式.18.小明的爷爷2021年75周岁了，2021年小明的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问小明2021年可能是多少周岁？【答案】7周岁或25周岁【解析】【分析】分出生年份在2000年后和2000年前两种情况，根据列方程求解.【详解】设小明出生年份的十位数字为，个位数字为（、均为0～9的整数）.

14∵小明的爷爷2021年75周岁了，∴小明出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前.故应分两种情况：（1）若小明出生年份为2000年后，则小明的出生年份为，依题意，得，整理，得∵、均为0～9的整数，∴，此时，∴小明的出生年份是2014年，2021年7周岁.（2）若小明出生年份在2000年前，则小明的出生年份为，依题意，得，整理，得，∵、均为0～9的整数，∴，此时，∴小明的出生年份是1996年，2021年25周岁.综上，小明2021年是7周岁或25周岁.19.如图，已知四边形内接于一圆，，于，求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】在上截取，连接，由，根据垂直平分线的性质，即可得到，得到，再由，得到，而，则，根据圆内接四边形的性质得，得，可证出，得，既有.

15【详解】证明：在上截取，连接，∵，∴，∴，∵，∴，而，∴，又∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴.20.如图，在中，，，，以其三边为边向外作正方形.点是边上的一个动点，连结，并延长交于点，连结.当时，求的长.【答案】【解析】【分析】作出辅助线，得到三角形全等，证明出四边形为平行四边形，得到，求出各边长，利用勾股定理求出答案.【详解】连接，交于，过点作，交于.

16易证，∴，，又∵，∴即，又∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴.21.如图（1），抛物线经过，两点，并与直线（为常数，且）交于、两点，直线过点且平行于轴，过、两点分别作直线的垂线，垂足分别为点、.

17（1）求此抛物线的解析式；（2）猜想与证明：①____________（填“>”“<”或“=”）②为______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）并证明你的猜想（3）如图（2）点为坐标平面内一点，点是抛物线上任意一点，求周长最小值，并求出此时点坐标.【答案】（1）（2）①=，=；②直角，证明见解析（3），【解析】【分析】（1）将，两点的坐标代入抛物线方程可求出，从而可得抛物线方程，（2）可猜想，然后利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得为直角三角形，（3）过点作直线于，则，所以当即最小时，的周长最小，从而可求得结果.【小问1详解】∵抛物线经过，，

18∴，解得，，所以抛物线的解析式为；【小问2详解】猜想①==（填“>，<或=”），设，则，，所以，，所以，同理可证得，②为直角三角形，证明：∵，∴，同理，∵，，∴，∴，∴，∴为直角三角形.【小问3详解】设抛物线上任一点坐标，过点作直线于，则，

19又∵，∴，∵的长度为定值，∴当即最小时，的周长最小，当、、三点在一条直线上时，最小，∴点的横坐标为1，代入抛物线的解析式，得，∴，此时的周长为，【点睛】关键点睛：第（3）解题的关键是由抛物线的性质得，从而将问题转化为当，即最小时，的周长最小.22.如图，扇形的半径为1，圆心角是90°.点是上一动点，于点，于点，点、、、分别是线段、、、的中点，与相交于点，与相交于点.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）探索当的长为何值时，四边形是矩形；（3）连结，试说明是定值.【答案】（1）证明见解析

20（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据垂直关系以及中位线条件证明即可；（2）当时，是矩形，根据边长之间的关系求得结果；（3）连接交于，过点作的平行线分别交、于点、.由以及在中的勾股关系进行求解.【小问1详解】证明：连接，如图①，∵，，∴，∵，∴四边形是矩形.∴，，∵、分别是、的中点，∴，，∴四边形为平行四边形.∴，∵点、、、分别是线段、、、的中点，∴，，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】

21如图②，当时，是矩形.此时.又∵，∴.∴，∴.设，，则，得，又，即.∴，解得：.当的长为时，四边形是矩形；【小问3详解】如图③，连接交于，

22∵四边形是平行四边形，∴，.过点作的平行线分别交、于点、.由得，，∴，，∴.在中，，即，又，∴，∴.