四川省宜宾市叙州区第一中学校2022-2023学年高一下学期期末考试数学 Word版含解析

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叙州区一中2023年春期高一期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合满足，则满足条件的集合的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】转化条件为集合是集合的子集，求得集合的子集个数即可得解.【详解】因为集合，集合满足，所以集合是集合的子集，所以满足条件的集合的个数为.故选：D.2.的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式化简求值.详解】解：故选：【点睛】本题考查二倍角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，属于基础题.3.已知向量，满足，，，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】D

1【解析】【分析】转化，为，可得，由即得解.【详解】又故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4.下列命题中，正确的是(　　)A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面【答案】B【解析】【详解】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．点睛：确定平面方法:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．5.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（　）

2A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果．【详解】由题意，函数的部分图象，可得，即，所以，再根据五点法作图，可得，求得，故．函数的图象向左平移个单位，可得的图象，则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象，故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A.B.C.6D.8

3【答案】B【解析】【分析】根据三点共线可得x，y的关系，再利用基本不等式解出最小值即可．【详解】∵，且三点共线，所以且，则，当且仅当时，即取等号，故有最小值，故选：B.【点睛】本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，属于基础题．7.我国古代数学名若《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用样本量比例分配的分层随机抽样方法），则北面共有多少人（）A.8000B.8100C.8200D.8300【答案】B【解析】【分析】设北面人数为人，根据分层抽样抽样比相等列出方程，即可求解.【详解】设北面人数为人，根据分层抽样抽样比相等可得，解得：人.故选：B.8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角C的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】

4【分析】由，并结合余弦定理，可求得，进而结合正弦定理可得，由，代入并整理得，结合△为锐角三角形，可得出，从而可得，即可求出答案.【详解】由余弦定理可得，，所以，即，由正弦定理可得，，又，所以，因为，所以，所以，即.锐角△中，，即，解得.故选：D.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A.B.C.∥D.⊥【答案】ABC【解析】【分析】根据两个平面向量的坐标，算出模和

5的坐标，再通过向量平行的坐标运算和向量数量积的坐标运算即可判断是否平行和垂直.【详解】对于A，，所以正确；对于B，，所以正确；对于，由于，所以∥，所以正确；对于，由于，所以与不垂直，所以不正确．故选：．10.对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】利用复数的运算性质分析求解即可【详解】对于A，由，得，所以，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以D正确，故选：CD11.习近平总书记强调：“一个忘记来路的民族是没有出路的民族，一个忘记初心的政党必定是没有未来的政党”某学校利用学习强国APP安排教职工（共200人）在线学习党史知识.其教职工年龄情况和每周在线学习时长达3小时的情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（）

6A.该学校中年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多B.该学校老年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多C.若要从该校的200名教职工中通过分层随机抽样的方法抽取20人，则应该从青年教职工中抽取6人D.该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的【答案】ACD【解析】【分析】直接根据图表分析数据，并依次讨论各选项即可得到答案.【详解】解：由图1得中年教职工占比，所以该校200名教职工中，青年教职工有人，中年教职工有人，老年教职工有人.由图2可知，教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数中，青年教职工有人，中年教职工有人，老年教职工有人，故对于A，B选项，该学校中年教职工每周在线学习党史时长达3小时的人数最多，故A选项正确，B选项错误；对于C选项，根据题意，抽样比为，故应该从青年教职工中抽取人，故C选项正确；对于D选项，该校在线学习党史时长达3小时的人数有人，占总人数的，故D选项正确.故选：ACD12.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.的最小正周期为

7B.点是图象的一个对称中心C.的值域为D.不等式的解集为【答案】CD【解析】【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.【详解】，作出的图象，如图，观察图象，的最小正周期为，A错误；的图象没有对称中心，B错误；的值域为，C正确；不等式，即时，得，解得，所以的解集为，D正确.故选：CD第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，则的值等于______．

8【答案】6【解析】【分析】利用二倍角公式展开后，约分得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查三角关系式的化简求值，属于基础题.14.甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是_______________________．【答案】【解析】【分析】根据概率性质可知所有可能的概率和为1.【详解】乙获胜的概率是，故答案为：15.直角梯形ABCD中，，，，，现将梯形ABCD绕边BC所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为________．【答案】【解析】【分析】作出旋转后的几何体，再计算体积.【详解】旋转后的几何体如图所示：它由圆柱和圆锥组成，所以体积为.

9故答案为：.16.已知的三个顶点都在球的球面上，且，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.【答案】.【解析】【分析】由为直角三角形，取斜边的中点为，连接，可得平面，根据三棱锥的体积为，求得，可得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】在中，因为，所以为直角三角形，设斜边的中点为，连接，可得平面，设三棱锥的高为，因为三棱锥的体积为，即，解得，即，又因为，可得，所以，所以球的半径，所以球的表面积为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知平行四边形的顶点，，.（1）求向量的坐标和；（2）若，其中为坐标原点，求实数的值.

10【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，的坐标，再由平行四边形的性质和向量的加法法则可得，从而可得其坐标，进而可求出模（2）先求出，的坐标，再由可得，把坐标代入化简可求出的值【详解】解：（1）由题意，，，所以，即.（2）由题设知：，.因为，所以，所以，所以，解得.18.2021年是中国共产党成立周年，中共中央印发《通知》，要求在全党开展党史学习教育．某社区为了解居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的有份试卷．（1）求和频率分布直方图中的值；（2）根据频率分布直方图估计成绩的众数和中位数（精确到）．【答案】（1），；（2）众数为；中位数为．【解析】

11【分析】（1）根据成绩在的居民人数和频率即可计算求出，再根据频率关系求出；（2）分析出中位数落在内，设中位数为，列方程求解.【详解】（1）由于其中成绩在的居民人数为，又在间的频率为，则，；（2）根据频率分布直方图估计众数为，因，，因此中位数落在内，设中位数为，由，解得．估计中位数为．19.函数的部分图像如图所示.（1）写出图中、的值；（2）将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图像，求方程在区间上的解.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数图象性质直接可求、的值；（2）根据函数伸缩平移变换可得，进而可求方程的解.【详解】（1）由正弦型函数的对称轴性质可知：，，

12解得：，，故；，故；（2）由（1）及题意可得，由可得，或，，解得或，，，∴方程解为.20.已知a，b，c分别是锐角的内角A，B，C所对的边，，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（1）证明：为等腰三角形；（2）若面积为，点D在线段AB上，且，求CD的长．条件①：；条件②：．【答案】（1）选①或②，证明见解析，（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后再化角为边得，设，选①，由余弦定理求得，选②，由诱导公式及两角和的正弦公式计算出，得；（2）由三角形面积求得边长，然后由余弦定理求得．【小问1详解】因为，由正弦定理得，，所以，，设，

13选①：，，，为等腰三角形；选②：，则，锐角三角形，则，，，所以，为等腰三角形；【小问2详解】选①或②都一样：由（1）不妨设设，是中点，则，，，，，，，则，．21.如图，在三棱锥中，，底面ABC

14（1）证明：平面平面PAC（2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角求解.【小问1详解】证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC；【小问2详解】如图所示：作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，

15所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为.22.已知函数，．（1）当时，求在区间上的最大值和最小值．（2）解关于x的不等式．（3）当时，若存在，使得，求实数m取值范围．【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）答案见解析；（3）或.【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性可求得结果；（2）化为后，先对分类讨论，再对与分类讨论可得结果；（3）转化为在上的最大值大于0，根据二次函数的知识求出最大值，再解关于的不等式可得结果.【详解】（1）当时，在上递减，在上递增，所以的最小值为，最大值为.（2）可化为，即，当时，不等式化为，解得或；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，当，即时，解得；当，即时，不等式无解；当，即时，解得.

16综上所述：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为空集；当时，不等式的解集为.（3）当时，若存在，使得，则在上的最大值大于0，因为的图象的开口向下，对称轴，所以，所以，即，即，解得或.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；