湖南省四大名校“一起考”大联考2023届高三下学期5月三模数学（原卷版）

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2023届高三“一起考”大联考（模拟三）数学试题（时量：120分钟满分：150分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数的实部和虚部均为整数，且，则满足的复数的个数为（）A.2B.3C.4D.53.成对样本数据和的一元线性回归模型是，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）A.B.C.D.4.正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则（）A.B.C.2D.5.已知，且，则等于（）A.B.C.D.

16.记为数列前n项积，已知，则（）A.8B.9C.10D.117.已知，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.8.雨天将一个上端开口的杯子固定在地面上放置24小时以测量日降雨量.杯子可以看作是容积为500毫升、高为20厘米、上底面（开口端）面积为30平方厘米的圆台，已知放置一天后杯内水位线距离杯底的高度约为2厘米.日降雨量的定义是单日降水在地面上积累高度的毫米数，则该地区当天日降雨量的估计值为（）（表示毫米）A13.3B.16.8C.20.2D.23.6二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.设正实数满足，则下列说法正确的是A.的最小值为B.的最大值为C.最小值为2D.的最小值为211.实数，函数的零点恰为的极值点，则构成的曲线（）A.包含离心率为的椭圆B.包含离心率为的双曲线C.与直线有四个交点D.与圆有六个交点12.已知函数，，则下列说法正确的是（）

2A.在上是增函数B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为C.若有两个零点，则D.若，且，则的最大值为三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项为______（用数字作答）.14.已知函数，则______.15.已知数列是等差数列，，过点作直线的垂线，垂足为点，则的最大值为__________.16.已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，使得成立，则的取值范围为__________.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列公比，前n项和为，满足：.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，且.（1）求k的取值范围；（2）若，求k为何值时，BC最短.19.如图，在四面体中，.

3（1）若到平面的距离为3，求三棱锥的高；（2）求与平面所成角的大小.20.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.21.已知双曲线右焦点为，渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）已知点是双曲线的右支上异于顶点的任意点，点在直线上，且，为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上．22.设.（1）求在上的极值；（2）若对，，都有成立，求实数的取值范围.

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