湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一上学期期末数学Word版含解析

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长郡中学2021-2022学年度高一第一学期期末考试数学试题一､选择题（共12道小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合，则（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}【答案】C【解析】【分析】首先用列举法表示集合，再根据并集的定义计算可得；【详解】解：因，，所以故选：C2.若函数为奇函数，则f（g（2））＝（　　）A.﹣2B.﹣1C.0D.2【答案】D【解析】【分析】先利用奇偶性求得g（x），再求出，然后求的值即可.【详解】设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）=2x﹣2=﹣f（x），故x＞0时，f（x）=2﹣2x，由g（2）=f（2）=2﹣4=﹣2，故f（g（2））=f（﹣2）=﹣f（2）=2，故选：D.【点睛】本题主要考查奇偶性求对称区间上的解析式以及函数值的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是A.B.C.D.【答案】D

1【解析】【详解】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D．考点：（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．4.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据解析式有意义可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.【详解】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.5.函数在上为增函数，则的值可以是（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将选项代入分别验证单调性即可求解【详解】对A,,由余弦函数的性质可知在上为减函数，舍去；对B，，在上先减后增，舍去对C,，由余弦函数的性质可知在上为增函数.成立；对D,,在上先增后减，舍去故选：C．【点睛】本题通过三角函数的图象与性质，熟记单调性是关键，考查了学生的直观想象．6.如果关于的不等式的解集是，那么等于（）

2A.B.4C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果.【详解】∵不等式的解集是，∴是方程的两个实根，∴，∴，∴.故选：B.7.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】解：因为，所以将式子进行齐次化处理得：．故选：C．8.已知（），（），则p，q的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】

3【分析】利用基本不等式，求得，结合二次函数的性质，求得，即可求解.【详解】因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即，又由，所以，所以.故选：A.9.已知函数，“函数在上有两个不相等的零点”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数在上有两个不相等的零点可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由于函数在上有两个不等的实根，则.若，对任意，可知，不合乎题意；若，则，解得，因为Ü，因此，“函数在上有两个不相等的零点”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；

4（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.10.已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是（）A.函数在区间上单调递减B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据图象变换的性质及周期求得函数解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项．【详解】由已知，向左平移后得，它是偶函数，则，又，所以，所以．时，，因此A正确；，因此函数图象关于点对称，B正确；，函数图象关于直线对称，C正确；，不是最值，D错误．故选：D．11.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（）

5A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由得出（用表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．【详解】因为，所以，所以，则.因为（当且仅当时，等号成立），所以，即.故选：B．12.已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.【详解】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，则有，是方程的两个根，必有，

6，是方程的两个不等根，则，，整理得，即，由得：或，因此有，，则有，，而函数在上单调递减，从而得，于是得，所以的取值范围是.故选：D二､多选题（共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）13.计算下列几个式子，结果为的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用两角和的正切公式化简AD，利用诱导公式和两角和的正弦公式化简B，利用二倍角公式化简C，即得答案．【详解】对于A：；对于B：原式＝；

7对于C：原式＝；对于D：原式＝．故选：ABD【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，正切公式，以及二倍角公式的应用，属于中档题．14.已知函数，则下列说法中正确的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.曲线关于对称D.曲线关于对称【答案】ABC【解析】【分析】化简得到，计算函数周期得到A正确，将BCD选项带入函数判断函数单调性和对称性得到答案.【详解】.的最小正周期为，A正确；，，函数单调递增，B正确；，关于对称，C正确；，D错误.故选：ABC.15.下列结论正确的是（）A.函数（，）的图象过定点（，1）

8B.是方程有两个实数根的充分不必要条件C.的反函数是，则D.已知在区间（2，）上为减函数，则实数a的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】根据或通过图像平移判断选项A正确；利用m范围的包含关系可判断B错误；由同底的对数函数与指数函数互为反函数，然后求值可知C错误；根据复合函数同增异减结合定义域可知D正确.【详解】对于函数，令，可得，故函数的图象过定，点，故A正确；根据方程有两个实数根，可得，即，故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；∵的反函数是，∴，故C错误；若在区间上为减函数，则在区间上大于零，且，即且，求得，故D正确，故选：AD.三､填空题（共5道小题，每小题3分，共15分）16.命题“，”的否定是___________.【答案】【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为，故答案为：17若，，则___________．（用a、b表示）【答案】

9【解析】【分析】先转化指数式为对数式，再利用换底公式即可求解.【详解】因为，所以因此.故答案为：18.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155【答案】5【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）xmg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，两边取对数得，，，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故答案为：519.设，若恒成立，则k的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围．【详解】因为，

10所以当且仅当，即时等号成立．所以．故答案：．20.最大值是3，的图像与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则______．【答案】4030【解析】【详解】试题分析：，最大值，解得，周期，因此，得，，由于过点，，即，，，在一个周期内，.考点：1、三角函数的化简；2、函数的周期性的应用.四､解答题（共5小题，第21题6分，第22､23､24每小题8分，第25题10分）21.已知.

11（1）若是第三象限角，，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得到，结合三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解.（2）将代入的解析式，结合诱导公式，即可求解.【小问1详解】解：由三角函数的诱导公式，可得，因为是第三象限角，且，所以，所以.【小问2详解】解：将代入得.22.已知全集U=R，集合，集合.（1）当时，求；（2）若集合，当时，求实数a的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】

12【分析】（1）先求出集合B和集合A的补集，再求，（2）由已知可得集合或，则由题意可得从而可求出实数a的取值范围【小问1详解】当时，集合，而或，所以或.【小问2详解】由已知可得集合或，由题意可得，所以要满足，只需解得，综上实数a的取值范围为.23.观察以下各等式：，，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【答案】【解析】【详解】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．证明：24.设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设

13AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值.【答案】时，取最大面积为【解析】【分析】由可得，设，则，则在直角中由勾股定理可得，则，所以，化简利用基本不等式可求得答案【详解】由题意可知，矩形的周长为24，，即，设，则，而为直角三角形，∴，∴，∴，∴.当且仅当，即时，此时，满足，即时，取最大面积为.25.已知函数在区间上有最大值4和最小值（1）求､的值；（2）设

14①若时，，求实数的取值范围；②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）由二次函数的单调性求得最大值和最小值，从而可求得；（2）①不等式分离参数得，可换元设，然后由二次函数性质求得最小值，进而得的范围；②化简方程，换元设和，转化关于的二次方程，由根的分布知识求解．【详解】（1），对称轴是，又，所以在上单调递增，则，解得．（2）由（1），，①即，，令，记，，，即的取值范围是.②由得，即，且，令，则方程化为，又方程有三个不同的实数解，由的图象可知，

15有两个根且或，记，则或，解得．故的取值范围是．