福建省百校联盟2023届高三下学期4月联合测评（三模）数学Word版含解析

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2023届4月高三联合测评（福建）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则（）A．B．C．D．2．若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（）A．6B．4C．D．3．已知等差数列的前项和为，，则（）A．11B．12C．13D．144．已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．5．函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．在中，，，，为所在平面上的一点，，则的最大值为（）A．B．25C．D．

17．已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（）A．B．C．2D．8．已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（）A．3B．2C．1D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．的最小值为610．已知，，则下列说法正确的是（）A．若，两圆的公切线过点B．若，两圆的相交弦长为C．若两圆的一个交点为，分别过点的两圆的切线相互垂直，则D．若时，两圆的位置关系为内含11．已知一组个数据：，，…，，满足：，平均值为，中位数为，方差为，则（）A．B．C．函数的最小值为D．若，，…，成等差数列，则12．已知函数，则下列结论正确的是（）A．为增函数

2B．的最小值为C．函数有且仅有两个零点D．若，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．5个人站成一排，小王不站两端的概率为__________．14．已知，角的终边上有点，则__________．15．函数的单调增区间是__________．16．如图，正四面体的棱长为3，，，分别是，，上的点，，，，截去三棱锥，同理，分别以，，为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列，等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求满足的最小的正整数的值．18．（本小题满分12分）在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，当取最大值时，求的面积．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，为等边三角形，，．

3（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角的正弦值．20．（本小题满分12分）疫情过后，某工厂快速恢复生产，该工厂生产所需要的材料价钱较贵，所以工厂一直设有节约奖，鼓励节约材料，在完成生产任务的情况下，根据每人节约材料的多少到月底发放，如果1个月节约奖不少于1000元，为“高节约奖”，否则为“低节约奖”，在该厂工作满15年的为“工龄长工人”，不满15年的为“工龄短工人”，在该厂的“工龄长工人”中随机抽取60人，当月得“高节约奖”的有20人，在“工龄短工人”中随机抽取80人，当月得“高节约奖”的有10人．（1）若以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，在该厂的“工龄长工人”中任选取5人，估计下个月得“高节约奖”的人数不少于3人的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关．参考数据：附表及公式：，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（本小题满分12分）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线的斜率为，，，，是椭圆上4个点（异于点），，直线与的斜率之积为，直线与的斜之和为1．（1）证明：，关于原点对称；（2）求直线与之间的距离的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求的单调区间和极值；

4（2）若有零点，求的最小值．2023届4月高三联合测评（福建）·数学参考答案、提示及评分细则1．C，，故．故选C．2．A，，由在复平面上对应的点在第四象限，故舍去，．故选A．3．C设的公差为，则，．故选C．4．D，，得，A是的必要不充分条件，B是的必要不充分条件，C：是的充要条件，D：是的充分不必要条件．故选D．5．A因为，所以为奇函数，的图象关于原点对称，排除B，D，又，故在，上都为增函数，故选A．6．B以为原点，，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则，，，，与的距离为，的最大值为，的最大值为．故选B．

57．B满足，又满足，故，轴，，可得，．故选B．8．C，是等差数列，，故对，，也符合上式，，故可取1，，且，故的最小值为1．故选C．9．ACA：，故A正确；B：，显然满足条件，故B错误；C：，故C正确；D：，由于在上为增函数，故最小值为5，D错误．故选AC．10．AD当时，两圆公切线分别与，切于点，，交轴于点，

6，故，故A正确；当时，两圆相交弦直线方程为，交弦长为，故B错误；若，则，故C错误；当时，，故两圆关系是内含，D正确，故选AD．11．BCDA：当时．一组数据1，2，4，17，，不在2，4之间，故A错误；B：由中位数定义知：B正确；C：，当时，取最小值为，C正确；D：若，，…，成等差数列，则，故D正确．故选BCD．12．BCDA：，，故在上，，为淢函数，A错误；在上，，故的最小值为，B正确；C：由B选项可知，过原点且与曲线的图象相切为临界点，设切点为，点处的切线方程为，代入原点坐标化简可得，令，有，可得函数单调递增，记方程的根为，

7又由，可知，令，有，可得函数单调递增，有，由图像得函数有且仅有两个零点，故C正确；D：对函数，有，，，故为淢函数，由，故为增函数，故为淢函数，即，，故，又，为的增区间，，故D正确．故选BCD．13．所求概率为．14．，故，，，故在第四象限，．15．或，由复合函数单调性知：的增区间即为所求，．16．中心为，底面正六边形中心为，球心在上，正三角形外接圆半径为，底面正六边形外接圆半径为1，原正四面体高为，

8故，，解得，故．17．解：（1）设公差为，由．当时，不符合题意，舍去，故，，；（2），，由，当时，，当时，，故的最小值为8．18．（1）证明：，则，而，故，故，故；（2）解：，当且仅当时，取最大值，此时，且，则，，故．19．（1）证明：不妨设，取的中点为，则，，，同理，则平面四边形为正方形，，且，，易求得，在中，由勾股定理可得，故与，可得平面；（2）解：取的中点，连接，过作的平行线，

9由（1）知：，，两两垂直，以为原点，、、方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由，，得，，，，设平面的法向量为，由，，有取，，，有，又，故所求线面角的正弦值为．20．解：（1）以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率估计概率，每个“工龄长工人”得“高节约奖”的概率为，5人中，恰有3人得“高节约奖”概率为，恰有4人得“高节约奖”概率为，5人都得“高节约奖”概率为，所求概率为；（2）列出列联表如下：“高节约奖”“低节约奖”合计“工龄长工人”204060

10“工龄短工人”107080合计30110140零假设：得“高节约奖”是否与工人工作满15年有关．，根据小概率值的独立性检验，得“高节约奖”与工人工作满15年有关．21．（1）证明：由题意得，，故椭圆方程为，取椭圆下顶点为，设，则，而，故，，由椭圆关于原点中心对称可知：，关于原点对称；（2）解：设直线方程为，设，两点的坐标分别为，，联立方程消去后整理为，有，，又由，有．有，可得，有，有，可得，又由，可得，由点不在直线上，可得，故的取值范围为．，之间的距离，即原点到的距离：，，且，，即所求范围为．

1122．解：（1），故在上，，为减函数；在上，，为减函数；在上，，为增函数．当时，有极小值为；（2）对，，，，，则，故取，，则，设为零点，则，则，，令，由定义域，设，由（1）知：仅当时，取最小值为，的最小值为，仅当，时成立．

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