宁夏银川唐徕回民中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学 Word版含解析

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银川唐徕回民中学2022～2023学年度高二年级第一学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法中不正确的是（    ）A.实部与虚部之积为B.的共轭复数为C.在复平面内对应的点在第三象限D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简得，进而根据复数的实部和虚部可判断A，根据共轭复数的定义可判断B，根据复数对应的点可判断C，根据复数模长的计算可判断D.【详解】由得，对于A,复数的虚部为1，实部为2，故A正确，对于B,的共轭复数为,B正确，对于C,在复平面内对应的点为，故点在第一象限，C错误，对于D，，D正确，故选：C2.在等差数列中，，则的值为（）A.6B.8C.12D.13【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的下标和性质可求得的值，再根据即可计算出最后结果.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.

1【点睛】本题考查等差数列下标和性质的应用，难度一般.在等差数列中，已知，则有.3.等比数列中，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题设结合等比数列通项公式求得公比，进而求.【详解】由题设，，又，可得，∴.故选：A4.为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（）A.甲成绩的极差比乙成绩的极差大B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C.甲成绩的方差比乙成绩的方差大D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小【答案】D【解析】【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可.【详解】甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故A错误；甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误；由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小，故C错误；

2甲成绩的平均数为分，乙成绩的平均数为分，故D正确．故选：D5.2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（）A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B.成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C.成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D.成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多【答案】D【解析】【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断．【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；成绩第1-50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确；第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D错误．故选：D．6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）A.与互斥B.与对立

3C.D.【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件，然后计算概率．【详解】与不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件表示向上点数为之一，∴．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题．7.对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（）A.82.5B.83C.83.5D.85【答案】A【解析】【分析】由频率分布直方图求得频率0.5对应的数即得．【详解】由频率分布直方图成绩在的频率是，而成绩在区间上的频率是0.4，因此中位数在区间上，设中位数是，则，解得．

4故选：A．8.为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（）A.30米B.50米C.80米D.110米【答案】C【解析】【分析】设该矩形区域的长为x米，则宽为米，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】设该矩形区域的长为x米，则宽为米，则所用警戒线的长度为米，当且仅当，即时，取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选：C9.已知，，且，则的最小值为（  ）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求最小值.【详解】显然，，，∴，当且仅当，即，时等号成立．故选：B．10.下列说法错误的是A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.“”是“”的充分不必要条件C.若为假命题，则、均为假命题D.命题：“，使得”，则非：“，”【答案】C

5【解析】【分析】由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得A正确；由“”的充要条件为“”,可得B正确；由“且”命题的真假可得C错误；由特称命题的否定为全称命题可得D正确，得解.【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”,即A正确；对于选项B,“”的充要条件为“”,又“”是“”的充分不必要条件,即B正确；对于选项C,为假命题，则、至少有1个为假命题,即C错误；对于选项D,由特称命题的否定为全称命题可得命题：“，使得”，则非：“，”,即D正确,故选.【点睛】本题考查了四种命题关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.11.若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】解：不等式成立的充分条件是，设不等式的解集为A，则，当时，，不满足要求；当时，，若，则，解得.故选：A.

612.若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，根据目标函数几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：目标函数转化为，由图易得，直线在时，轴截距最大.所以.因为，即，当且仅当，即，时，取“”.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.如果复数满足，则的最大值是___________.【答案】【解析】

7【分析】根据复数的几何意义及复数的模公式，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】设，则因为，所以，即.令，则，当，即时，取得最大值为，即，所以的最大值是.故答案为：14.某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了名，从高二年级的学生中抽取了名，若高三年级共有学生名，则该高中共有学生____________名．【答案】【解析】【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数；【详解】解：依题意可得样本中高三年级抽取了名学生，所以该高中共有学生名学生；故答案为：15.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．

8【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.用频率分布直方图估计的小学生的身高的平均值为_________【答案】124.5【解析】【分析】根据频率分布直方图，计算身高的平均值【详解】因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）＝1，解得a＝0.030；根据频率分布直方图，计算平均数为105×0.05+115×0.35+125×0.3+135×0.2+145×0.1＝124.5cm故答案为124.5cm【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了平均数的计算问题，是基础题目．三、解答题:本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；

9（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期为，增区间为；（2）最大值为，最小值为1.【解析】【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦型函数的性质计算作答.(2)由(1)及已知求出函数的相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.【小问1详解】依题意，，则有的最小正周期为，由得，，，所以的最小正周期为，单调增区间为.【小问2详解】由(1)知，当时，，因正弦函数在上递增，在上递减，因此，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值1，所以在区间上的最大值为，最小值为1.18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

10（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．【详解】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因为，所以，即．故四棱锥的体积．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法由（2）知,所以．

11建立如图所示的平面直角坐标系，设．因为，所以，，，．从而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空间向量法由，得．所以．

12即．又底面，在平面内，因此，所以．所以，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，得，即．所以，即．下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.19.某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：/吨/天（1）根据上述提供的数据，求出关于的回归方程，并预测进货量为时的销售天数；（结果四舍五入）；（2）在该商品进货量不超过吨的前提下任取个值，求该商品进货量恰好有个值不超过吨的概率.参考数据和公式：，，，.【答案】（1）回归直线方程为，预测进货量为时的销售天数约为天（2）【解析】

13【分析】（1）计算出、，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，可得出结果；（2）列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：，，所以，，所以，，所以回归直线方程为，当时，，预测进货量为时的销售天数为天.【小问2详解】解：进货量不超过吨有、、、、，共个，任取个的基本事件有：、、、、、、、、、，共种结果，恰好有次不超过吨的基本事件有：、、、、、，共种结果，所以所求的概率为.20.新一轮的疫情使得人们的出行受到了极大的限制．在党和政府的正确指挥，全国人民的共同努力下，疫情得到了有效控制，使出行旅游成为可能.年“十一”黄金周，某旅行社报名去红色革命圣地西柏坡、井冈山两地旅游、学习的游客共有人，旅行社将去这两个目的地的游客分别分为三批组织旅游，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加旅游的游客人数（单位：名）作了如下统计：第一批第二批第三批西柏坡井冈山已知在参加两地旅游的人中，参加第二批西柏坡游的频率是．（1）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取人，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少人？

14（2）已知，，求第三批参加旅游的游客中到西柏坡旅游的人数比到井冈山旅游的人数多的概率．【答案】（1）人（2）【解析】【分析】（1）利用频率公式可求得的值，可求得的值，再利用分层抽样可求得在第三批参加旅游的游客中所抽取的人数；（2）由已知可得出，求出的取值范围，将“第三批参加旅游的游客中到两地旅游的人数”记为，设“到西柏坡旅游的人数比到井冈山旅游的人数多”为事件，列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：因为第二批参加西柏坡游的频率是，所以．解得，所以，第三批参加旅游的总人数为，现用分层抽样的方法在所有游客中抽取名游客，则应在第三批参加旅游的游客中抽取人.【小问2详解】解：由（1）知，，，，所以，，，若将“第三批参加旅游的游客中到两地旅游的人数”记为，则满足该事件的基本事件有：、、、、、、、、、、、、，共个．设“到西柏坡旅游的人数比到井冈山旅游的人数多”为事件，则事件满足的基本事件有：、、、、、、、、、，共个．由古典概型的公式可知，，因此，第三批参加旅游的游客中到西柏坡旅游的人数比到井冈山旅游的人数多的概率为.21.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，.

15（1）求角B；（2）若，求的面积，求的周长l的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据内角和定理可知，结合条件，利用正弦定理可得，再根据余弦定理即可求解；（2）根据，结合三角形面积公式可得，根据余弦定理可得，将代入，则，即，可得到的范围，即可求解.【小问1详解】由内角和定理得：，∴，由正弦定理边角互化得：，即，∴，∵，∴【小问2详解】由（1），，则由题意，，故，即，由余弦定理可得，，则，故，

16所以，故，即的周长l的取值范围为22.已知数列的前n项和为，且满足．（1）证明数列是等比数列；（2）若数列满足，证明数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）可根据已知的与的递推关系，利用求解出数列的首项，然后当时，递推做差，利用消掉，即可得到与之间的关系，从而完成证明；（2）利用第（1）问求解出的数列的通项公式，带入到中，再使用错位相减法进行求和，根据最后计算的结果与比较即可完成证明.【小问1详解】由题意得，当时，，∴，当时，，∴，∵，∴，于是有，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.得证.【小问2详解】由（1）可知，∴，，

17①，②，②−①得：，∴，∵，故，∴得证.

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