天津市部分区2021届高三上学期期末考试数学Word版含答案

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天津市部分区2020~2021学年度高三第一学期期末练习数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式：如果事件A，B互斥，那么．如果事件A，B相互独立，那么．圆锥的侧面积公式，其中r表示圆锥底面圆的半径，l表示圆锥的母线长．圆锥的体积公式，其中r表示圆锥底面圆的半径，h表示圆锥的高．球的表面积公式，其中R表示球的半径．第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集，且，则集合A的子集共有（）A．3个B．4个C．7个D．8个2．设i是虚数单位，若复数z满足，则（）A．B．C．D．3．已知，则（）A．B．C．D．4．设是等比数列的前n项和，若，，则（）A．B．C．1D．2

15．随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质量、向智能化转型升级的核心力量．经过多年的发展，我国的工业机器人产业已经达到了定的规模，不仅在焊接、装配、搬运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器人关键零部件方面也已经接近或达到了世界领先水平．下图是“中投产业研究院”发布的《2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国工业机器人产量数据的统计图数据来源：国家统计局|，根据统计图分析，以下结论不正确的是（）A．2019年3~12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月份B．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下C．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是4月份D．2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长超过15%6．“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若，，且，则（）A．有最大值为B．有最小值为C．有最小值为2D．无最小值8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上一点，且满足，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．9．已知函数（e为自然对数的底数），关于x的方程恰有四个不同的实数根，则a的取值范围为（）A．B．C．D．

2第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．在的展开式中，x的系数是________．（用数字作答）11．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数________．12．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为________．13．将函数（，，）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则________．14．在平行四边形ABCD中，，，点EF在CD上且满足，，若M为AB的中点，且，则AB的长为________．15．如图，在圆锥SO中，，圆锥的侧面积为，是圆锥底面圆O的内接正三角形，P为SO上一点，且，则圆锥SO的体积为________，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．

3三、解答题：本大题共5小题共75分解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）在中，已知（1）求角B的大小；（2）若，的面积为，求的值．17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥D-ABC中，已知，，，，，E，F分别为线段AB，BC的中点．（1）求证：；（2）求直线BD与平面DEF所成角的余弦值；（3）求平面DEF与平面DAC所成二面角的正弦值．18．（本小题满分15分）已知数列的前n项和为，，．（1）求的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，记数列的前n项和为，求证：．19．（本小题满分15分）已知椭圆过点且离心率为．设P为圆上任意一点，过点P作该圆的切线交椭圆于E，F两点．（1）求椭圆的方程；（2）试判断是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由．20．（本小题满分16分）

4已知函数，e是自然对数的底数，若，且恰为的极值点.（1）证明：；（2）求在区间上零点的个数．天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分）题号123456789答案DACBCABCD二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）10．1011．12．13．14．15．；三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）在中，，所以．即，所以．又，所以，又，所以．（2）设．由题意及（1）得，，解得，即．在中，由余弦定理，得

5所以．由正弦定理，得，所以．因为，所以，所以．所以，所以．17．（1）证明：在中，，，所以，所以．在中，因为，，，所以，所以因为平面ABC，平面ABC，且，所以平面ABC．又因为平面ABC，所以．（2）解：由（1）知，，，又，以点A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则，，，，

6因为E，F分别为AB，CB的中点，所以，．所以，，，设平面DEF的法向量为，则有，即，令，得，，所以．设直线BD与平面DEF所成角为．因为，，，所以．因为，所以．即所求直线BD与平面DEF所成角的余弦值为．（3）解：由（1）知，平面DAC，所以平面DAC的一个法向量为．因为，，所以．设平面DEF与平面DAC所成的二面角为，因为．所以．故所求平面DEF与平面DAC所成的二面角的正弦值为．18．解：（1）由题意，知，，①令得，，

7因为，所以．当时，，②所以，得，即，所以．所以数列是首项为，以为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得．所以．所以．因为，所以，所以．19．解：（1）由题可得，解得．所以椭圆的方程为．（2）①当过点P且与圆相切的切线斜率不存在时，由对称性，不妨设切线方程为，则，，，所以．

8②当过点P且与圆相切的切线斜率存在时，不妨设切线的方程为，设点，，．将直线方程与圆的方程联立并整理，得，由直线与圆相切易得，，联立直线和椭圆的方程并整理，得，则，所以．所以．综上可知，为定值．20．解:（1）由题意，得．因为为函数的极值点，所以．令，显然a是的零点．

9则，在上单调递增，因为，，所以在上有唯一的零点a，所以．（2）由（1）知，，．①当时，由，，，得，，所以在上单调递减，，所以在区间上不存在零点．②当时，设，则，（ⅰ）若，令，则，所以在上单调递减．因为，；所以存在，满足．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．（ⅱ）若，令，，则，

10所以在区间上单调递减，所以．又因为，所以，在上单调递减．（ⅲ）若，则，在上单调递减．由（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）得，在上单调递增，在单调递减．因为，，所以存在使得，所以，当时，，在上单调递增，所以；当时，，在上单调递减，因为，，所以在区间上有且只有一个零点，综上，在区间上的零点个数为2．