天津市静海区第一中学2021届高三上学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021高三第一学期期末考试数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（135分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共150分.第Ⅰ卷基础题（共135分）一、选择题：每小题5分，45分.1.已知集合，则（）A.B.C.D.————A分析：由集合的运算法则计算．解答：，，故选：A．2.已知，条件：，条件：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件————B分析：根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可.解答：若，则有，因此有，故；反之，若，当其中有负数时，不成立，故是的必要不充分条件.故选：B3.在的二项展开式中，x的系数为（）A.40B.20C.-40D.-20————C

1分析：求出的展开式通项公式，再令的幂指数等于1，求得的值，即可求得的系数．解答：的二项展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为，故选：C．4.设，，，则的大小关系为（）A.B.C.D.————C分析：根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.解答：，，，，，，，故选：C．点拨：方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（）A.B.C.D.

2————B分析：首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的变换规则求出的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；解答：解：将向右平移个单位长度得到，，∴的对称中心为，当时为.故选：B.6.已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（）A.B.C.D.————C分析：画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程．解答：由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限），

3可知，，，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，所以，则三角形是正三角形，因为是的中点，，所以是的中点，所以，，，所以，则，由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，所以，则，可得，所以抛物线方程为：．故选：．点拨：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.7.函数的图象大致为（）A.B.

4C.D.————C分析】先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D选项，再判断原函数在及上的正负即可确定答案.解答：因为，所以，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，又因为，当且仅当时取等号，所以，当时，，当时，，所以，当时，，当时，，故排除A、B，故选：C．点拨：根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下：（1）先确定函数的定义域；（2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性；（3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负;（4）确定局部区间上的单调性.8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.————B

5分析：分离变量，利用导函数应用得到函数在无零点，则有两个零点，利用函数最值得到参数范围解答：当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点当时，等价于，令，，得在上单调递减，在上单调递增，，.因为有2个零点，所以.故选：B.点拨：分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.9.已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线，的倾斜角分别为，且，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.————B分析：设，，以及，代入整理可得答案．解答：设，.因为，则，所以.又，

6所以.所以.所以.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.二、填空题：每小题5分，共30分10.已知一个球的体积是，则它的内接正方体的表面积为___________.————24分析：由球体积求得半径，内接正方体的对角线是球的直径，由此可得正方体的棱长，从而得表面积．解答：设球的半径为R，它的内接正方体的边长为a，由，得，又，∴，∴.故答案为：24．11.若复数满足，其中为虚数单位，则__________________．————分析：根据条件先化简复数，然后利用复数的模长公式可得结果.解答：.故答案为：.12.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为

7，则圆C的方程为________．————(x－1)2＋(y＋1)2＝2.分析：设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.解答：由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a,－a)，又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴半径.又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a,－a)到直线x－y－3＝0的距离，∴，即，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故答案为：.13.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．————(1).(2).1分析：先计算出的分布列，再利用公式可求.解答：随机变量，对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以，对应事件为第一次拿黄球，第二次拿红球，或第一次拿黄球，第二次拿绿球，第三次拿红球，或第一次拿绿球，第二次拿黄球，第三次拿红球，故，

8故，所以.故答案为：.点拨：关键点点睛：计算离散型随机变量的分布列，注意随机变量取值时对应的含义，从而正确计算对应的概率，另外注意利用对立事件计算概率.14..已知实数，满足，则的最小值是______————分析：将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求最小值.解答：,,,当且仅当时，即当时，等号成立，因此的最小值为.故答案为：点拨：本题主要考查了利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查了计算能力，属于难题.15.在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为______________.————分析：

9根据，，，，建立平面直角坐标系，设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解.解答：建立如图所示平面直角坐标系：因为，，，，所以，，，设，所以所以，所以，所以，，当时，的最小值为.故答案为：点拨：本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：(本大题共4小题，共60分)16.已知外接圆的半径为，其内角的对边长分别为．若．（1）求角的大小．（2）若，求的值．

10————（1）；（2）．分析：（1）由正弦定理可知：，将等式转化为，由余弦定理可求出角；（2）由条件利用正弦定理可求出，又角是钝角，可知角为锐角，从而求出，根据三角形内角和的关系，=，从而求出的值.解答：由知：，由，故为锐角，.点拨：本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题.方法点睛：（1）用边化角或角化边将题干化简成统一形式，再用余弦定理或两角和与差的公式求角；（2）若题目中出现两边及其一边的对角，常用正弦定理求另一角，然后求其他量；（3）若出现两边以及第三边的对角，常用余弦定理求第三边，然后求其他量.17.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.

11（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若为棱上一点，且满足，求二面角余弦值.————（1）证明见解析；（2）；（3）.分析：（1）建立空间直角坐标系，得出点的坐标，根据向量垂直的坐标表示可得证；（2）根据线面角的空间向量求解方法，可得答案；（3）由，.，由向量垂直的坐标表示，求得，再运用二面角的空间向量求解方法，可得答案.解答：解：（1）证明依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图）.可得.由为棱的中点，得向量，，故，所以.（2）向量，.设为平面的法向量.则即，不妨令，得为平面的一个法向量，于是有.所以直线与平面所成角的正弦值为.

12（3）向量，，，.由点在棱上，，.故.由，得，因此，解得.即，设为平面的法向量，则，即.不妨令，得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则：知，二面角是锐角，所以其余弦值为.点拨：求二面角的方法：1、几何法：做出二面角的平面角，运用解三角形的知识求解二面角的大小；2、建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积运算求得二面角的大小，运用此方法时，注意判断二面角的范围．18.已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.————（1）；；（2）.

13分析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，再根据公式进行计算可得数列的通项公式；（2）先分为奇数和为偶数分别计算出数列的通项公式，在求前项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前项和.解答：（1）依题意，由，，可得，因为，所以解得，，，，对于数列：当时，，当时，，当时，也满足上式，，.（2）由题意及（1），可知：当为奇数时，，当为偶数时，，令，，则，

14，，两式相减，可得，，，，，.点拨：关键点点睛：第二问中当为奇数时，求出，并对进行裂项为是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.19.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆与轴正半轴的交点，点，在椭圆上且不同于点，若直线、的斜率分别是、，且，试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.

15————（1）；（2）直线恒过定点分析：（1）根据椭圆上的点以及离心率列出方程即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线，的方程，联立椭圆方程，求出，两点的坐标，写出直线的方程，即可判断直线是否过定点.解答：解：（1）由题意知：，即，又，椭圆方程可化为：，又椭圆过点，，解得：，椭圆的标准方程为：；（2）如图所示：

16直线，的斜率一定存在且不为，设：，又，：，联立，即，，，又，，代入，得：，，用代换，即得，

17，：，即，直线恒过定点.点拨：方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．第Ⅱ卷提高题（共16分）20.已知函数h(x)=，不等式对于x∈(0，+∞)恒成立.（1）求函数h(x)的最值；（2）求实数t的值；（3）已知实数，其中e为自然对数底数.若对任意的x∈(0，1]，都恒成立，求正实数m的取值范围.————（1）最大值为，无最小值；（2）e；（3）(1，+∞).分析：（1）先求导，令h′(x)>0，h′(x)<0，得到函数的单调性求解.（2）将不等式t≥(1+)t对于x∈(0，+∞)恒成立，转化为对于所有的x∈(0，+∞)恒成立，结合（1）中h(x)=的最大值为求解.（3）令，求导，求其最小值即可.

18解答：（1）由题可得，则当x∈(0，e)时，h′(x)>0，当x∈(e，+∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，+∞)上单调递减，∴h(x)的最大值为，无最小值，（2）因为不等式对于x∈(0，+∞)恒成立.则，对于x∈(0，+∞)恒成立.即：对于所有的x∈(0，+∞)恒成立，由（1）知h(x)=的最大值为，所以，又，所以，所以.（3）令，化简得：，当m>0时，,令得，，所以在上递减，在上递增；∵m>0，∴，∴F(x)在(0，1)上单调递减∴F(x)min=F（1）=2m+2>4，

19∴m>1综上：正实数m的取值范围为(1，+∞).点拨：方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；