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《2023届高考二轮总复习试题数学（文）考点突破练5数列求和方法及综合应用Word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
考点突破练5 数列求和方法及综合应用1.(2022·陕西宝鸡三模)已知数列{an}中,a1=a2=1,且an+2=an+1+2an.记bn=an+1+an.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,求数列{Tn}的前n项和.2.(2022·云南昆明一模)已知数列{an}满足a1=13,an+1=anan+1.(1)设bn=1an,计算b1,b2,b3,并证明数列{bn}是等差数列;(2)求数列ann+1的前n项和Sn.3.(2022·新疆乌鲁木齐二模)设数列{an}是各项均为正数的等比数列,其中a2=4,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列bnan是公差为1的等差数列,其中b1=2,求数列{bn}的前n项和Tn.
14.(2022·黑龙江哈师大附中三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.5.已知等差数列{an}中,a3=3,a6=6,且bn=an+1,n为奇数,2an,n为偶数.(1)求数列{bn}的通项公式及前20项和;(2)若cn=b2n-1·b2n,记数列{cn}的前n项和为Sn,求Sn.6.(2022·四川达州二模)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,Sn为{an}的前n项和.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)nSn,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-mn2>0对一切正奇数n恒成立,求实数m的取值范围.
2考点突破练5 数列求和方法及综合应用1.(1)证明由an+2=an+1+2an,得bn+1=an+2+an+1=2(an+1+an)=2bn.又b1=a1+a2=2≠0,所以{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解由(1)知,Tn=2×(1-2n)1-2=2n+1-2.设数列{Tn}的前n项和为Sn,由Tn=2n+1-2,知Sn=(22+23+…+2n+1)-2n=22×(1-2n)1-2-2n=2n+2-2n-4.2.解(1)因为an+1=anan+1,且a1=13,所以a2=14,a3=15,所以b1=3,b2=4,b3=5.因为bn+1-bn=1an+1−1an=an+1an−1an=1,所以数列{bn}是首项为3,公差为1的等差数列.(2)由(1)可得bn=3+(n-1)×1=n+2,所以an=1n+2,故ann+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2,所以Sn=12−13+13−14+14−15+…+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4.3.解(1)设{an}的首项为a1,公比为q,由题可知q>0.由a2=4,a4=16,得a1q=4,a1q3=16,所以a1=2,q=2,所以an=2n.(2)因为数列bnan是公差为1的等差数列,其中b1=2,即b1a1=22=1,所以bnan=n,所以bn=n·2n,所以Tn=1×2+2×22+…+n·2n,2Tn=1×22+2×23+…+n·2n+1,所以-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1=2×(1-2n)1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,所以Tn=(n-1)·2n+1+2.4.解(1)由题可知an+Sn=1.①
3当n=1时,a1+a1=1,即a1=12.当n≥2时,an-1+Sn-1=1.②①-②得2an-an-1=0,即an=12an-1,∴数列{an}是以12为首项,12为公比的等比数列,∴an=12n.(2)由(1)知bn=an+log2an=12n+log212n=12n-n,∴Tn=b1+b2+…+bn=121+122+…+12n-(1+2+…+n)=12[1-(12) n]1-12−n(1+n)2=1-12n-n(1+n)2=-n2-n+22-12n.5.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则d=a6-a36-3=1,所以an=a3+(n-3)d=n,所以bn=n+1,n为奇数,2n,n为偶数,所以b1+b2+b3+…+b19+b20=(2+4+…+20)+(22+24+…+220)=10×(2+20)2+4×(1-410)1-4=110+43×(410-1)=4113+3263.(2)由(1)可得cn=b2n-1·b2n=2n×22n=2n·4n,所以Sn=2×41+4×42+6×43+…+2n·4n,4Sn=2×42+4×43+6×44+…+2(n-1)·4n+2n·4n+1,所以-3Sn=2×41+2×42+2×43+…+2×4n-2n·4n+1=8(1-4n)1-4-2n·4n+1=23-2n4n+1-83,所以Sn=23n-294n+1+89.6.解(1)∵a1=1,an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)可得Sn=n(1+2n-1)2=n2,∴bn=(-1)nSn=(-1)nn2,∴bn+bn+1=-n2+(n+1)2=2n+1,n为奇数,∴当n为奇数,且n≥3时,Tn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an=3+7+…+(2n-3)-n2=n-12·2n2-n2=-n(n+1)2.当n=1时,T1=-1也适合,
4故当n为奇数时,Tn=-n(n+1)2.又Tn-mn2>0对一切正奇数n恒成立,∴m
