湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学（解析版）

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高二数学入学考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意知，求出双曲线的渐近线方程得，即可得，利用，即可求出、、的值，从而求出双曲线的方程.【详解】由题意知①，双曲线的渐近线方程得，又因为一条渐近线方程是，所以②，又因③，由①②③解得：，，所以双曲线的方程为：，故选：C【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.2.已知为抛物线上一点，则到其焦点的距离为A.B.C.2D.【答案】A【解析】【详解】把代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1.∴抛物线的焦点为F(0,).∴抛物线的准线方程为y=−.

1∴A到准线的距离为1+=.∴AF=.故选A.3.若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行求得，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得．【详解】∵，∴，解得或，时，两直线方程为，即，，符合，当时，两直线方程，即，，不符合，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查两直线平行，考查平行间距离公式，解题时一是由平行的条件之一求出参数值后要检验两直线是平行的（不重合），二是求出平行线间的距离，确定满足题意，否则易出错．4.已知数列的首项，，则（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由证明是等差数列，最后由通项公式得出.【详解】由题意可知，，即∴是以为首项、为公差的等差数列∴，，

2故选：A5.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6.设函数的导函数是，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.

37.已知数列、满足，，，则数列的前项和为．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列、等比数列定义求出数列、的通项公式，进而求出的通项公式，根据定义判断其为等比数列，运用等比数列求和公式求解即可.【详解】解：因为，∴数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，又∵，∴，∴，设，∴，数列是等比数列，且公比为，首项为，由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为.故选：C.【点睛】等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列．8.已知、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，且，若是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，，，由双曲线定义得，根据得，，根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于的函数，根据二次函数知识可求得结果.

4【详解】设，，，由题意得，，由双曲线定义得，∴,所以，所以，所以，所以，由余弦定理得，，当时，面积的最大值是，故选：B.【点睛】关键点点睛：根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于的函数是解题关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足、、，则下列结论中错误的是（）AB.C.是数列中的最大值D.【答案】ABD【解析】【分析】分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误.【详解】分以下几种情况讨论：①若，则，，此时，不合乎题意；②若，对任意的，，且有，可得，可得，此时，与题干不符，不合乎题意；

5③由上可知，对任意的，，且有，可得，此时，数列为单调递减数列，则，由可得.对于A选项，由上可知，A选项错误；对于B选项，由于数列为正项递减数列，所以，，则，B选项错误；对于C选项，由上可知，正项数列前项都大于，而从第项起都小于，所以，是数列中的最大值，C选项正确；对于D选项，，，D选项错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：在等比数列的公比的取值不确定时，一般分、、、四种情况讨论，解本题的关键就是结合已知条件分析出，并结合等比数列的单调性来进行推理.10.已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（　　）A.1B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由题意可得，圆的圆心为，半径为1，结合是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式，从而可求得的值．【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为1，由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，可知，，所以，所以圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离，解得：，所以实数的值为1或.

6故选：AB．11.已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由题意，分、两种情况，分别求解，设，根据双曲线的几何性质，即可求的b的值，代入离心率公式，即可求得答案.【详解】（1）当时，设，则，设，如图所示：双曲线的渐近线方程为，即在中，，设，又，所以，又双曲线中，所以，所以，，，，则，，，代入得，即，解得，则，

7（2）当时，设，，设，如图所示：则，，在中，，设，又，所以，又双曲线中，所以，所以，，，，则，，，则，则，代入得，即，解得，则，故选：AB.【点睛】易错点为：条件，需分、两种情况分别求解；解题时，为简化计算，可设a=1，进而可直接求得b，c的值，方便计算，提高准确率，属中档题.12.设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．下列命题正确的是（）．A.等差数列可能为“和等比数列”B.等比数列可能为“和等比数列”C.非等差等比数列不可能为“和等比数列”D.若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则【答案】ABD

8【解析】【分析】由常数数列判断AB，由判断C，对于D项，设，从而得出，结合等差数列的求和公式得出，结合题意得出从而判断D.【详解】若等差数列的公差为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对若等比数列的公比为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对若数列满足，则是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错正项数列是公比为的等比数列，∴，则故数列是首项为，公差为的等差数列，又数列是“和等比数列”，则又为非零常数，则，即，即，D对故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝________.【答案】73【解析】【分析】根据条件，可得通项公式，结合题意，代入数据，计算即可得答案.【详解】∵Sn＝n2－16n，∴当n＝1时，a1＝－15，

9当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，令an≤0，解得n≤8，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝－a1－a2－a3－－a8＋a9＋a10＋a11＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73.故答案为：7314.已知、为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，且内切圆的周长等于，若满足条件的点恰好有两个，则_______【答案】【解析】【分析】根据内切圆的周长求出半径，根据三角形的面积列等式可得，根据满足条件的点恰好有两个，可得，将代入可解得结果.【详解】由题意得内切圆的半径，设，因此的面积为，设，则，∵满足条件的点恰好有两个，∴为椭圆短轴端点，即，∴，而，∴，∴.故答案为：.【点睛】易错点点睛：容易误将看成长半轴长导致错误.15.若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为________.【答案】0或【解析】【分析】由直线的方程可知直线横过点，由直线将圆的周长分为2:1的两部分，则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，可求出圆心到直线的距离，从而求得直线斜率.【详解】由直线，

10即，得到直线恒过点，又因为直线将圆的周长分为2:1的两部分，则直线与圆相交的弦长对应的圆心角为，圆心到直线的距离为，设直线方程为：，即，由点到直线距离公式有：，则，解得或，故答案为：或.16.已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为_________；若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项的和为_________．【答案】①.②.【解析】【分析】由等差数列的通项公式求得，由与的关系即可求得的通项公式，由表示不超过的最大整数，可知，计算即可得出结果.【详解】∵数列是首项为，公差为的等差数列，∴，得到，当时，，当时，，又，∴，∴，当时，，

11当时，、、…、，当时，、、…、，当时，、、…、，当时，，故数列的前项的和为：．故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0．（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【答案】（1）（2）（3）直线方程为4x+3y-23=0，弦长为【解析】【详解】试题分析：（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，两圆的圆心距d==5，两圆的半径之和为+，由两圆的半径之和为+=5，可得m=．（2）由两圆的圆心距d=="5"等于两圆的半径之差为|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=．（3）当m=45时，两圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0．第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为d==2，可得弦长为考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题18.已知数列和都是等差数列，．（1）求数列的通项公式；

12（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用成等差数列列方程，解方程求得，由此求得数列的通项公式.（2）结合放缩法、裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，∴，，则，，，又数列是等差数列，∴，化简得，解得，则；（2）由（1）可知，当时，，，符合，当时，，，综上，当时，．【点睛】在利用放缩法证明不等式时，要注意是否需要保留某一项或某些项，如本题中保留.19.已知数列满足，，(且)．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2），．【解析】【分析】

13（1）由可证明数列是等差数列.（2）由（1）知，,用累加法可求解.【详解】（1）当时，，当时，，∴数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）知，，即，∴当时，,,,∴利用累加公式可得：，又当时，，满足上式，∴，．【点睛】关键点睛：本题考查证明数列为等差数列和用累加法求通项公式，解答本题的关键是由条件得出和用累加法求数列的通项公式,属于中档题.20.已知椭圆C:离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程；（2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值.【小问1详解】

14由题设得，解得，，，所以椭圆方程为.【小问2详解】由，得，由，得.设、，则，，所以点的横坐标，纵坐标，所以直线的方程为.令，则点的纵坐标，则，因为，所以点、点在原点两侧.因为，所以，所以.又因为，，所以，解得，所以.21.已知数列满足，，数列满足，．（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；()；（2）．【解析】【分析】

15（1）通过计算为定值可得答案；（2）先求出数列的通项公式，代入，通过裂项相消法可求和．【详解】（1）∵当时，，又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴()；（2）∵，∴，当时，当时，∴，当时符合，∴，∴，∴．【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列常用的方法：一是定义法，证明为常数)；二是等比中项法，证明.关键点点睛：本题中的裂项，确定要裂项求和，要更多的关注分母的变化特点．22.已知点是圆上任意一点（是圆心），点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线经过，与抛物线交于两点，与交于两点．当以为直径的圆经过时，求．

16【答案】(1)；（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)根据中垂线的性质，,这样，转化为椭圆的定义，根据定义写出椭圆方程；（2）设直线方程，斜率存在时和椭圆方程联立，利用韦达定理写出根与系数的关系，然后根据以为直径的圆经过时，有，代入坐标关系，最后根据直线方程，根据根与系数的关系求，最后代入抛物线的焦点弦长公式.试题解析：解：（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，∴椭圆方程为：（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件．当直线l不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1）由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（﹣1，0）所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4==2+，x3x4="1"所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．

17考点：1.椭圆的定义；2.直线与圆锥曲线的位置关系.