湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高一下学期入学考试数学试题 Word版含解析

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临澧一中2023年高一上学期入学考试试卷数学试题时间：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的.1.如果集合，，，那么（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求，再求.【详解】因为集合，，所以,，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的交并补集，属于基础题型.2.设，则“”是“或”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】【分析】解，得，根据包含关系即可判断.【详解】解，可得，得.因为Ü，所以“”是“或”的充分不必要条件.故选:A.

13.已知不等式的解集是，则实数a等于（）A.B.C.5D.10【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得，即可求实数a.【详解】由题设，有，可得.故选：A.4.下列各组中两个函数，表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域，并化简函数解析式，进而判断各选项.【详解】A选项：定义域为，定义域为，故A选项错误；B选项：与的定义域均为，且，故B选项正确；C选项：与的定义域均为，但，故C选项错误；D选项：的定义域为，的定义域为，故D选项错误；故选：B.5.已知，则的值等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先确定的正负，再计算的值.

2【详解】，，，，，即.故选：A6.函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】根据已知求得函数的对称性、周期性，再根据函数的周期性分别求出对应函数值，即可得解.【详解】解：∵函数的图象关于对称，且把向左平移1个单位可得的图象，∴函数的图象关于对称，即函数为奇函数，∴，∵∴函数是以2为周期的周期函数，∴，，，即有.故选：A.7.已知函数（），若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个，则实数的取值范围是（）

3A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得（），可得（），分类讨论，可得当时，由（1），时，，由（2）时，，要使整数有且仅有一个，需，即可得结果【详解】解：因为在区间上为增函数，所以可得（），可得（），当时，满足整数至少有1，2，舍去当时，由（1），时，，由（2）时，，要使整数有且仅有一个，需，解得，所以实数的取值范围为，

4故选：D【点睛】此题考查函数的图像特征、单调性的应用，属于中档题8.设函数的定义域为，对于任一给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”．若函数，则下列结论：①；②的值域为；③在上单调递减；④函数为偶函数．其中正确的结论共有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】【分析】根据题意，表示出函数的解析式，再结合图像性质一一判断即可.【详解】由，解得，因此.对于①，，故①错；对于②，当时，，结合的解析式可知，的值域为，故②正确；对于③，当时，，结合图像性质可知，在上单调递减，故③正确；对于④，，结合图像可知函数为偶函数，故④正确.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分.9.下列结论正确的是（）A.若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为B.不等式在上恒成立的充要条件是，且

5C.若关于x的不等式的解集为，则D.不等式的解集为【答案】CD【解析】【分析】由二次函数的图像、方程和不等式之间的关系能判断A、B、C，由分式不等式能确定选项D．【详解】A．若函数对应的方程没有根，则，故当时，不等式的解集为，故本选项不符合题意；B．“在R上恒成立”推不出“且”，反例：在R上恒成立，但．故本选项不符合题意；C．分两种情况考虑：①当时，的解集不是R；②当时，的解集为R，所以，即．故本选项符合题意；D．，即，，，解得．故本选项符合题意．故选：CD．10.已知函数，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用函数单调性和零点存在性定理分别求出,,范围,即可判断A,C,利用数形结合判断B，然后对的范围进一步缩小，则得到的范围，即可判断的正负，则可判断D选项.【详解】由题意,易知函数都是其定义域上的增函数,所以函数,都是其定义域上的增函数，又因为,,且在其定义域上连续,

6所以在上存在唯一零点,即,又,,且在其定义域上连续,所以在区间内存在唯一零点,即，所以,故A正确;由,则,所以,故C正确;令，,即,则和与都相交,且和图象关于对称,由,得,即和与的交点关于对称,则,即,故B正确.，所以，，，故，故，故，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题的关键是灵活运用零点存在定理结合函数的单调性确实

7的范围，然后就是利用指数函数与对数函数的关系得到的和为定值，最后再次使用零点存在定理进一步缩小的范围，从而判断出的正负.11.已知，下面结论正确的是（）A.若，，且的最小值为，则B.存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称C.若在上恰有7个零点，则的取值范围是D.若在上单调递增，则的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】由已知，先对原函数利用余弦的二倍角公式和诱导公式进行化简得到，选项A，可根据条件作出判断；选项B，先对函数进行平移，得到，然后再令，通过赋值求解出的值，然后结合条件给的范围判断即可；选项C，可根据条件直接列式求解；选项D，可根据条件列出不等式直接求解.【详解】由已知，，选项A，若，，则的最小值为，故该选项错误；选项B，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：，该图像要想关于y轴对称，则需满足：，解得，当时，，故该选项正确；选项C，由函数在上恰有7个零点可得：，故该选项正确；

8选项D，由函数在上单调递增可得：，解得：，又因为，所以的取值范围是，该选项正确.故选：BCD.12.—般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的“倍跟随区间”;特别地,若函数的定义域为,值域也为,则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是A.若为的跟随区间,则B.函数不存在跟随区间C.若函数存在跟随区间,则D.二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】BCD【解析】【分析】根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A,若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A错误.对B,由题,因为函数在区间与上均为增函数,故若存在跟随区间则有,即为的两根.即,无解.故不存在.故B正确.对C,若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,

9即,因为,所以.易得.所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.故,解得,故C正确.对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数过定点，若，则最小值为______.【答案】4【解析】【分析】根据对数型函数过定点可得，故,从而，展开，利用基本不等式即可求解.【详解】令，可得，故函数过定点，所以所以，即.所以,

10当且仅当时等号成立.所以最小值为4.故答案为:4.14.函数的部分图象如图所示，则______.【答案】【解析】【分析】由图象可得函数的周期，从而可求得，再利用待定系数法求出即可.【详解】解：由图象可知：的最小正周期，，，（），∴（），因为，所以.故答案为：.15.已知函数（）为偶函数，则函数的值域为__________．【答案】【解析】【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．【详解】解：函数（）是偶函数，

11，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故答案为：．16.若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：令，则，当时，是增函数，由在区间上为减函数，则在上为减函数，故，即，解得；当时，是减函数，由在区间上为减函数，

12则在上为增函数，故，即，解得，综上，的取值范围是..故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设，，，．（1）求、的值及、；（2）求.【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）分析可知，，可求得、的值，即可求得集合、；（2）利用并集和交集的定义可求得集合.【小问1详解】解：由题意可得，，则，解得，所以，，，则，满足题意.综上所述，，，，.【小问2详解】解：由（1）可知，因此，.18.已知函数是偶函数，当时，.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数在上具有单调性，求实数的取值范围.

13【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用函数是偶函数，，当时，．即可求解时的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的单调性，根据函数在区间上具有单调性，可得或，从而求解的范围．【详解】（Ⅰ）当时，为偶函数（Ⅱ）由题意可知：函数的单调增区间是，，单调减区间是，，又函数在区间上具有单调性或即或解得：或．故得实数的取值范围是【点睛】本题考查了函数解析式的求法，利用了奇偶性，二次函数单调性的应用．属于基础题．19.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若，求角的取值集合.【答案】（1）（2）或【解析】

14【分析】（1）根据三角恒等变换可得，根据周期公式即可求解；（2）由，可得,求解即可.【小问1详解】.故函数的最小正周期为.小问2详解】由，可得,故或,解得或.故角的取值集合为或.20.已知定义域为R的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据，可得，再由即可求解.（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，从而可得对一切有

15，由即可求解.【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由，知，解得.经检验，当时，，满足题意.（2）由（1）知，由上式易知在R上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是R上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，解得.21.销售甲种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式；销售乙种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式.其中，为常数.现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售.则所得利润总和为万元.（1）求利润总和关于的表达式，并指出的取值范围；（2）怎样将3万元资金分配给甲､乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.【答案】（1），（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元

16【解析】【分析】（1）由题意，根据给定的函数，代入给定值，可得答案；（2）利用分离常数项整理函数，根据基本不等式，可得答案.【小问1详解】因为对甲种商品投资万元，所以对乙种商品投资为万元，由题意知：，当时，，当时，，则，解得，，则，.【小问2详解】由（1）可得，当且仅当时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元.22.①函数；②函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，的图象关于原点对称.在以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：“已知___________，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.”（1）求的值；（2）求函数在上的单调递增区间；（3）记，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，，当时，都有，求的取值范围.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】

17（1）若选择①，则根据三角变换公式以及半周期可求函数的解析式，若选择②，则根据图象变换得到的解析式，再根据对称中心可求的值，从而得到函数解析式.（2）利用正弦函数的单调性可求函数的单调增区间.（3）根据在上为减函数可求实数的取值范围.【详解】解：（1）选条件①：由题意可得：即有：，又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，从而，故.选条件②：依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，，，又的图象关于原点对称，则，由知，从而，故.（2）由（1）知：，令，解得，故在上的单调递增区间为.（3），将的图象向左平移个单位长度，可得，即函数，令函数，由题意在单调递减，当时，，那么，可得，的取值范围是.【点睛】思路点睛：形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．另外正弦型函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为半周期.

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