湖南省临澧县第一中学2022-2023学年高二下学期入学考数学试卷（含解析）

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临澧县第一中学2022-2023学年高二永通班下学期入学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点为抛物线的准线上一点，直线交抛物线于M，N两点，若的面积为20，则（）A.1B.C.2D.【答案】C【详解】由题意不妨设，则的面积为，解得.故选：C2.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以，的中点为，则以为直径的圆的方程为，所以为两圆的公共弦，因此两圆的方法作差得所在直线方程为，即.故选：B.3.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有

1A.条B.条C.条D.条【答案】C【解析】【详解】试题分析：以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.4.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是A.1B.C.D.【答案】D【详解】是等比数列是等差数列本题正确选项：5.已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【详解】由题意可得，即，

2渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，，由双曲线的定义可得，由圆可得，半径，，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，且为，则的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6.已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【详解】因为…，所以…，故即，其中.而令，则，故，.

3，故，故恒成立等价于即恒成立，化简得到，因为，故.故选D.7.已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是（）A.B.2C.D.3【答案】D【详解】设，则①，利用向量加法法则知，则即，故②，设，则，③，由②③得，即，又，所以，即，即

4所以双曲线离心率值是3故选：D8.已知函数的定义域为，对任意的实数，，当时，且数列满足，且，则下列结论成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【详解】依题意，对任意的实数，等式成立，令得，所以或，又当时，所以，所以，令，则，因为当时，不妨令，则，所以对任意有，任取，则，因为，所以，所以，即，单调递减，所以有唯一解，又数列满足，所以，又因为，所以，，

5，由数列的递推关系知数列为以3为周期的数列，所以，，，，，，当时，所以，，所以，，又，所以故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（）A.－2B.4C.0D.6【答案】AD【详解】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A（a，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．故选：AD.10.已知抛物线焦点为，，

6是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点的坐标为B.若直线过点，则C.若，则的最小值为D.若，则线段的中点到轴的距离为【答案】BCD【详解】解：抛物线，即，对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，由，消去整理得，，，故B正确；对于C，若，则直线过焦点，所以，所以当时，的最小值为抛物线的通径长，故C正确；对于D，，，即点纵坐标为，到轴的距离为，故D正确.故选：BCD.11.无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（）

7A.可能为等差数列B.可能为等比数列C.中一定存在连续三项构成等差数列D.中一定存在连续三项构成等比数列【答案】ABC【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列，时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．故选：ABC12.已知双曲线且，设直线与双曲线在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，记的面积为，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.C.数列为等差数列D.【答案】ACD【详解】解：因为双曲线的方程为且，所以渐近线方程为，设点，则且，记到两条渐近线的距离分别为，则、，则，故

8因此为等差数列，故，故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若函数f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【详解】试题分析：函数定义域为，导函数为，使得存在垂直于y轴的切线，即有解，可得有解，因为，所以，当且仅当““时等号成立，所以实数a的取值范围是考点：导数的应用14.已知正项等比数列满足，则的最小值为__________．【答案】【详解】设该等比数列的公比为，，因为数列是正项等比数列，所以，且，所以，令，于是有，当且仅当取等号，即时取等号，即时取等号，

9所以的最小值为，故答案为：15.在平面直角坐标系中，若圆：上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是______.【答案】【详解】圆：的圆为，半径为1，它关于直线的对称圆的圆心为，半径仍然为，圆的圆心为，半径为，由题意，解得．故答案为：．16.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设，的面积分别为，，则______．【答案】##0.5625【详解】由题意知，，直线方程为.设，.

10联立直线方程与抛物线的方程，解得或.因为点A在第一象限，所以，，直线方程为，点坐标为.因为，所以轴.所以，，所以.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的前项的和为，且满足.（1）求数列的通项公式及；（2）若数列满足，求数列的前项的和.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）由得：，即，由得：，两式相减得:，

11即，即数列是以1为首项，2为公比等比数列，则，则；（2）由（1）知：，则，则当时，，当时，，则.18.已知函数()．（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）的定义域为，，若函数有两个极值点，则有两个变号零点，等同于，即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，

12令，的定义域为，则，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递减，则为的极大值，也为最大值，当时，，当时，，当时，且为正数，则的图像如图所示，则此时；（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，则，令，则，当时，，，，则，则在时单调递增，又，∴时，，则在时单调递增，∴当时，即当时，．19.在等差数列中，已知公差，是与的等比中项

13（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）令，数列的前项和为.【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，∴数列的通项公式为.（2）∵①∴②②－①得：，，故．（3），∴，令，①则②①－②得：，∴∴．∴数列的前项和20.已知双曲线：一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．

14（1）求双曲线的标准方程与离心率；（2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．【答案】（1），离心率为（2）【小问1详解】由题意知焦点到渐近线的距离为，则因为一条渐近线方程为，所以，又，解得，，所以双曲线的标准方程为，离心率为．【小问2详解】设直线：，，，联立则，所以，由

15解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面积为21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）【详解】（1）的定义域为，，显然，令，则，解得，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增.（2）令，则当时，恒成立，

16求导得，且，①当时，令，即，则时，恒成立，∴在上是增函数，且，∴不符合题意；②当时，，则时，恒成立，∴在上是增函数，且，∴不符合题意；③当时，，则时，恒有，即在上是减函数，所以时，，所以，解得，故.综上，的取值范围是.22.如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.（1）当且时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或

17（2）存在，【小问1详解】椭圆的方程，由题可得；由，结合，得，椭圆的标准方程：；当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，故设直线l的方程为，代入椭圆方程整理得，设，，，；，解得.则直线l的方程为或.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合，由椭圆的对称性可知直线与直线平行，不符合题意；由题意可设直线的方程：代入椭圆方程，得；设，，，；①直线的方程为②

18则直线的方程为③由②③得由①代入，得，解得，即；且知；（常数）即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数